RLC直列共振回路

共振が起きたときのインダクタンス $L$ の端子電圧 $V_L$ は、

$V_L=\displaystyle\frac{ω_0L}{R}V=\displaystyle\frac{2πf_0L}{R}V$

$314=\displaystyle\frac{2×3.14×f_0×10×10^{-3}}{0.5}×1$

$f_0=\displaystyle\frac{0.5×314}{2×3.14×10×10^{-3}}=2.5$［kHz］

答え (2)

周波数 $f_1$［Hz］のときの合成インピーダンスを $\dot{Z_1}$、 $f_2$［Hz］のときの合成インピーダンスを $\dot{Z_2}$ とすると、周波数の大きさにより、合成インピーダンス $Z_1$，$Z_2$ 一方が誘導性の負荷になると、他方は容量性の負荷になります。周波数 $f_1$［Hz］のときを誘導性負荷、周波数 $f_2$［Hz］のときを容量性負荷と考えると、

$Z_1=\displaystyle\sqrt{R^2+\left(ω_1L-\displaystyle \frac{ 1 }{ ω_1C }\right)^2}$

$Z_2=\displaystyle\sqrt{R^2+\left(\displaystyle \frac{ 1 }{ ω_2C }-ω_2L\right)^2}$

題意より、$Z_1=Z_2$ なので、

$\displaystyle\sqrt{R^2+\left(ω_1L-\displaystyle \frac{ 1 }{ ω_1C }\right)^2}=\displaystyle\sqrt{R^2+\left(\displaystyle \frac{ 1 }{ ω_2C }-ω_2L\right)^2}$

$\left(ω_1L-\displaystyle \frac{ 1 }{ ω_1C }\right)^2=\left(\displaystyle \frac{ 1 }{ ω_2C }-ω_2L\right)^2$

$L(ω_1+ω_2)=\displaystyle \frac{ 1 }{ C }\left(\displaystyle \frac{ 1 }{ ω_1 }+\displaystyle \frac{ 1 }{ ω_2 }\right)$

$L(ω_1+ω_2)=\displaystyle \frac{ 1 }{ C }\left(\displaystyle \frac{ ω_1 + ω_2 }{ ω_1 ω_2 }\right)$

$ω_1 ω_2=\displaystyle \frac{ 1 }{ LC }$

したがって $f_1×f_2$ の値は、

$f_1 f_2=\displaystyle \frac{ 1 }{ 4π^2LC }$

答え (3)

スイッチSを開いたときの合成静電容量を $C_1$［F］、閉じたときの合成静電容量を $C_2$［F］とすると、

$C_1=\displaystyle \frac{C_XC}{C_X+C}$

$C_2=C$

したがって共振周波数 $f_1$［Hz］、 $f_2$［Hz］は、

$f_1=\displaystyle \frac{1}{2π\sqrt{L×\displaystyle \frac{C_XC}{C_X+C}}}$

$f_2=\displaystyle \frac{1}{2π\sqrt{LC}}$

題意より、$f_1=2f_2$［Hz］なので、

$\displaystyle \frac{1}{2π\sqrt{L×\displaystyle \frac{C_XC}{C_X+C}}}=\displaystyle \frac{2}{2π\sqrt{LC}}$

$2\sqrt{L×\displaystyle \frac{C_XC}{C_X+C}}=\sqrt{LC}$

$\displaystyle \frac{4C_XC}{C_X+C}=C$

$3C_X=C$

$\displaystyle \frac{C}{C_X}=3$

答え (5)

電源電圧 $\dot{E}$［V］と電流 $\dot{I}$［A］とが同相ということは、コイル $L$ と、コンデンサ $C$ が直列共振しています。共振角周波数を $ω_0$ とすると、

$ω_0L=\displaystyle \frac{ 1 }{ ω_0C }$

${ω_0}^2=\displaystyle \frac{ 1 }{ LC }$
　　$=\displaystyle \frac{ 1 }{ 2×10^{-3}×0.8×10^{-6} }$
　　$=\displaystyle \frac{ 1 }{ 16×10^{-10} }$

$ω_0=\displaystyle \frac{ 1 }{ \sqrt{16×10^{-10} }}=2.5×10^4$［rad/s］

答え (4)

(a) スイッチSを閉じた瞬間はコイルに電流は流れません。つまり、振動電流の初期値は 0［A］です。

$i$ は矢印の向きの正方向（＋方向）に流れはじめます。

したがって、(1)の図が正解になります。

答え (1)

(b) コンデンサに蓄えられたエネルギーを $W_C$［J］、コイルに蓄えられたエネルギーを $W_L$［J］とすると、 $W_C=W_L$ の関係になるので、

$\begin{eqnarray}W_C&=&\displaystyle \frac{1}{2}CV^2\\\\&=&\displaystyle \frac{1}{2}×300×10^{-6}×100^2\\\\&=&1.5\end{eqnarray}［J］$

$\begin{eqnarray}W_L&=&\displaystyle \frac{1}{2}LI^2\\\\&=&\displaystyle \frac{1}{2}×30×10^{-3}×I^2\\\\&=&15×10^{-3}×I^2\end{eqnarray}［J］$

$15×10^{-3}×I^2=1.5$

$I=10.0$［A］

共振周波数を $f_0$［Hz］とすると、

$f_0=\displaystyle \frac{1}{2π\sqrt{LC}}$

$f_0=\displaystyle \frac{1}{2π\sqrt{0×10^{-3}×300×10^{-6}}}≒53.05$［Hz］

周期 $T$［s］は、

$T=\displaystyle \frac{1}{f_0}=\displaystyle \frac{1}{53.05}≒18.8$［ms］

答え (4)

$R$ [Ω] の抵抗、インダクタンス $L$ [H] のコイル、静電容量 $C$ [F] のコンデンサを直列に接続した回路がある。
この回路に交流電圧を加え、その周波数を変化させると、特定の周波数 $f_r$ [Hz] のときに誘導性リアクタンス $=2πf_rL$［Ω］と容量性リアクタンス $＝\displaystyle\frac{1}{ 2πf_rC }$ の大きさが等しくなり、その作用が互いに打ち消し合って回路のインピーダンスが（　小さく　）なり、（　大きな　）電流が流れるようになる。この現象を直列共振といい、このときの周波数 $f_r$ [Hz] をその回路の共振周波数という。
回路のリアクタンスは共振周波数 $f_r$ [Hz] より低い周波数では（　容量性　）となり、電圧より位相が（　 進んだ　）電流が流れる。また、共振周波数 $f_r$ [Hz] より高い周波数では（　誘導性　）となり、電圧より位相が（　 遅れた 　）電流が流れる。

答え (3)

抵抗の端子間電圧の実効値 $V_R=0$［V］ということは、回路に流れる電流は最大値 $I_{max}$ になります。つまり、直列共振が起きています。

誘導性リアクタンスを $X_L$、コイルに流れる電流を $I_L$、コイル両端の電圧を $V_L$ とすると、

$I_L=\displaystyle \frac{ V_L }{ X_L }=\displaystyle \frac{ V_L }{ 2πfL }$

$I_L=0$ になるためには、$f=∞$ になります。

容量性リアクタンスを $X_C$、コンデンサに流れる電流を $I_C$、コイル両端の電圧を $V_C$ とすると、

$I_C=\displaystyle \frac{ V_C }{ X_C }=2πfCV_C$

$I_C=0$ になるためには、$f=0$ になります。

答え (4)

共振周波数は、$f_0＝\displaystyle \frac{ 1}{ 2π\sqrt{LC} }$ なので、回路Ａ，回路Ｂ，回路Ｃ の共振周波数は、

$f_A=\displaystyle \frac{ 1}{ 2π\sqrt{LC} }$

$f_B=\displaystyle \frac{ 1}{ 2π\sqrt{2LC} }=\displaystyle \frac{ 1}{ 2π\sqrt{LC} }×\displaystyle \frac{1}{\sqrt{2}} $

$f_{AB}=\displaystyle \frac{ 1}{ 2π\sqrt{3L×\frac{C}{2}} }=\displaystyle \frac{ 1}{ 2π\sqrt{LC} }×\displaystyle \frac{1}{\sqrt{1.5}} $

したがって、$f_B<f_{AB}<f_{A}$ になります。

答え (5)