並列回路の共振【電験3種-理論】

並列回路の共振 理論

電験3種の理論で出題される単相交流の並列共振回路について、初心者の方でも解りやすいように、基礎から解説しています。また、電験3種の試験で、実際に出題された過去問題も解説しています。

$RLC$ 並列回路の共振

図のように抵抗 $R$、コイル $L$ 、コンデンサ $C$ を並列接続したときの合成アドミタンス $\dot{Y}$ とその大きさ $Y$ は、次のように表すことができます。

$\dot{Y}=\displaystyle \frac{ 1 }{ R }+\displaystyle \frac{ 1 }{ jωL }+jωC$

$Y=\displaystyle\sqrt{ \left(\frac{ 1 }{ R }\right)^2+\left(ωC-\displaystyle \frac{ 1 }{ωL }\right)^2}$

各周波数が、

$ω_0=\displaystyle \frac{ 1 }{ \sqrt{LC} }$

の条件を満たすとき、

$ω_0L=\displaystyle \frac{ 1 }{ ω_0C }$

となります。このとき、アドミタンスの大きさ $Y$ は、最小値 $Y_{min}$ になります。

$Y_{min}=\displaystyle \frac{1}{R}$

回路に流れる電流の大きさ $I$ は、

$I=Y×V=\displaystyle\sqrt{ \left(\frac{ 1 }{ R }\right)^2+\left(ωC-\displaystyle \frac{ 1 }{ωL }\right)^2}×V$

で、表すことができますので、各周波数 $ω_0$ のとき、回路に流れる電流は最小値 $I_{min}$ になります。

$I_{min}=Y_{min}×V=\displaystyle\frac{V}{R}$

このように、並列回路で電流が最小値になる現象を共振といいます。また、共振が起こる角周波数 $ω_0$ を共振角周波数といいます。共振が起きたときの、フェーザ図を次に示します。

共振が起きたときにコイルとコンデンサに流れる電流は、

$\dot{I_C}=jωC\dot{V}$

$\dot{I_L}=-j\displaystyle\frac{\dot{V}}{ωL}$

になります。$I_C$ と $I_L$ は、大きさが等しくまた、逆相となりますので、互いに打ち消しあいます。したがって、電源電圧 $V$ と抵抗に流れる電流 $I_R$ は同相になります。

電験3種-理論(交流回路)過去問題

2002年(平成14年)問8

図のような $RLC$ 交流回路がある。この回路に正弦波交流電圧 $E=100$[V]を加えたとき、可変抵抗 $R$[Ω]に流れる電流 $I$[A]は零であった。また、可変抵抗 $R$[Ω]の値を変えても $I$[A]の値に変化はなかった。このとき、容量性リアクタンス $X_C$[Ω]の端子電圧 $V$[V]とこれに流れる電流 $I_C$[A]の値として、正しいものを組み合わせたのは次のうちどれか。
ただし、誘導性リアクタンス $X_L=20$[Ω]とする。

2002年(平成14年)問8 過去問解説

電源からの電流が零ということは、$LC$ の回路が共振状態であることを示しています。$LC$ の並列回路のインピーダンスは無限大となり、$V=100$[V]となります。

したがって、コイル $X_L$ 及び コンデンサ $X_C$ に流れる電流は、$\displaystyle \frac{ 100 }{ 20 }=5$[A]になります。

答え(3)

2008年(平成20年)問8

図のように、正弦波交流電圧 $e= E_msinωt$ [ V ]の電源、静電容量 $C$ [ F ]のコンデンサ及びインダクタンス $L$ [ H ]のコイルからなる交流回路がある。
この回路に流れる電流 $i$ [A]が常に零となるための角周波数 $ω$[rad/s]の値を表す式として、正しいのは次のうちどれか。

2008年(平成20年)問8 過去問解説

回路に流れる電流 $i$ [A]が常に零になるということは、共振を起こしているということです。したがって、

$\displaystyle\frac{1}{ωL}=ωC$

$ω=\displaystyle\frac{1}{\sqrt{LC}}$

答え(1)

2010年(平成22年)問13

図1は、静電容量 $C$[F]のコンデンサとコイルからなる共振回路の等価回路である。このようにコイルの内部抵抗 $r$[Ω]が存在する場合は、インダクタンス $L$[H]と抵抗 $r$[Ω]の直列回路として表わすことができる。この直列回路はコイルの抵抗 $r$[Ω]が、誘導性リアクタンス $ωL$[Ω]に比べて十分小さいものとすると、図2のように、等価抵抗 $R_p$[Ω]とインダクタンス $L$[H]の並列回路に変換することができる。このときの等価抵抗 $R_p$[Ω]の値を表わす式として、正しいのは次のうちどれか。
ただし、$I_C$[A]は電流源の電流を表わす

2010年(平成22年)問13 過去問解説

図1の抵抗 $r$[Ω]と、インダクタンス $L$[H]の合成インピーダンスを $Z_1$[Ω]とすると、

$Z_1=r+jωL$[Ω]

図2の等価抵抗 $R_p$[Ω]とインダクタンス $L$[H]のの合成インピーダンスを $Z_2$[Ω]とすると、

$Z_2=\displaystyle\frac{jωR_pL}{R_p+jωL}$[Ω]

題意より

$Z_1=Z_2$

$r+jωL=\displaystyle\frac{jωR_pL}{R_p+jωL}$

$(r+jωL)(R_p+jωL)=jωR_pL$

$rR_p+jωrL+jωR_pL-ω^2L^2=jωR_pL$

$R_p=\displaystyle\frac{ω^2L^2-jωrL}{r}$

コイルの抵抗 $r$[Ω]は、誘導性リアクタンス $ωL$[Ω]に比べて十分小さいので、

$R_p≒\displaystyle\frac{(ωL)^2}{r}$

答え(4)

2016年(平成28年)問9

図のように、$R=1Ω$ の抵抗、インダクタンス $L_1=0.4mH$、$L_2=0.2mH$のコイル、及び静電容量 $C=8μF$ のコンデンサからなる直並列回路がある。この回路に交流電圧 $V=100V$ を加えたとき、回路のインピーダンスが極めて小さくなる直列共振角周波数 $ω_1$ の値 [rad/s]及び回路のインピーダンスが極めて大きくなる並列共振角周波数 $ω_2$ の値 [rad/s] の組合せとして、最も近いものを次の(1)~(5)のうちから一つ選べ。

2016年(平成28年)問9 過去問解説

回路の合成インピーダンス $\dot{Z}$[Ω]は、

$\begin{eqnarray}\dot{Z}&=&R+jωL_1+\displaystyle\frac{1}{jωC+\displaystyle\frac{1}{jωL_2}}
\\\\&=&R+jωL_1+\displaystyle\frac{jωL_2}{j^2ω^2CL_2+1}
\\\\&=&R+jω\left(L_1+\displaystyle\frac{L_2}{1-ω^2CL_2}\right)\end{eqnarray}$

直列共振は虚数部が0になるときですので、

$L_1+\displaystyle\frac{L_2}{1-ω^2CL_2}=0$

$ω^2CL_1L_2=L_1+L_2$

$\begin{eqnarray}ω&=&\displaystyle\sqrt{\displaystyle\frac{L_1+L_2}{CL_1L_2}}
\\\\&=&\displaystyle\sqrt{\displaystyle\frac{0.4×10^{-3}+0.2×10^{-3}}{8×10^{-6}×0.4×10^{-3}×0.2×10^{-3}}}\\\\&≒&3.06×10^4[rad/s]\end{eqnarray}$

並列共振するためには、

$\begin{eqnarray}ω&=&\displaystyle\frac{1}{\sqrt{L_2C}}
\\\\&=&\displaystyle\frac{1}{\sqrt{0.2×10^{-3}×8×10^{-6}}}\\\\&≒&2.5×10^4[rad/s]\end{eqnarray}$

答え(5)

理論電験3種
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