このページでは、RLC並列共振回路について、初心者の方でも解りやすいように、基礎から解説しています。また、電験三種の理論科目で、実際に出題されたRLC並列共振回路の過去問題の求め方も解説しています。
$RLC$ 並列回路の共振
図のように抵抗 $R$、コイル $L$ 、コンデンサ $C$ を並列接続したときの合成アドミタンス $\dot{Y}$ とその大きさ $Y$ は、次のように表すことができます。
$\dot{Y}=\displaystyle \frac{ 1 }{ R }+\displaystyle \frac{ 1 }{ jωL }+jωC$
$Y=\displaystyle\sqrt{ \left(\frac{ 1 }{ R }\right)^2+\left(ωC-\displaystyle \frac{ 1 }{ωL }\right)^2}$
各周波数が、
$ω_0=\displaystyle \frac{ 1 }{ \sqrt{LC} }$
の条件を満たすとき、
$ω_0L=\displaystyle \frac{ 1 }{ ω_0C }$
となります。このとき、アドミタンスの大きさ $Y$ は、最小値 $Y_{min}$ になります。
$Y_{min}=\displaystyle \frac{1}{R}$
回路に流れる電流の大きさ $I$ は、
$I=Y×V=\displaystyle\sqrt{ \left(\frac{ 1 }{ R }\right)^2+\left(ωC-\displaystyle \frac{ 1 }{ωL }\right)^2}×V$
で、表すことができますので、各周波数 $ω_0$ のとき、回路に流れる電流は最小値 $I_{min}$ になります。
$I_{min}=Y_{min}×V=\displaystyle\frac{V}{R}$
このように、並列回路で電流が最小値になる現象を共振といいます。また、共振が起こる角周波数 $ω_0$ を共振角周波数といいます。共振が起きたときの、フェーザ図を次に示します。
共振が起きたときにコイルとコンデンサに流れる電流は、
$\dot{I_C}=jωC\dot{V}$
$\dot{I_L}=-j\displaystyle\frac{\dot{V}}{ωL}$
になります。$I_C$ と $I_L$ は、大きさが等しくまた、逆相となりますので、互いに打ち消しあいます。したがって、電源電圧 $V$ と抵抗に流れる電流 $I_R$ は同相になります。
電験三種－理論（交流回路）過去問題
2002年（平成14年）問8
図のような $RLC$ 交流回路がある。この回路に正弦波交流電圧 $E=100$［V］を加えたとき、可変抵抗 $R$［Ω］に流れる電流 $I$［A］は零であった。また、可変抵抗 $R$［Ω］の値を変えても $I$［A］の値に変化はなかった。このとき、容量性リアクタンス $X_C$［Ω］の端子電圧 $V$［V］とこれに流れる電流 $I_C$［A］の値として、正しいものを組み合わせたのは次のうちどれか。
ただし、誘導性リアクタンス $X_L=20$[Ω]とする。
2002年（平成14年）問8 過去問解説
電源からの電流が零ということは、$LC$ の回路が共振状態であることを示しています。$LC$ の並列回路のインピーダンスは無限大となり、$V=100$［V］となります。
したがって、コイル $X_L$ 及び コンデンサ $X_C$ に流れる電流は、$\displaystyle \frac{ 100 }{ 20 }=5$［A］になります。
答え (3)
2008年（平成20年）問8
図のように、正弦波交流電圧 $e= E_msinωt$ [V]の電源、静電容量 $C$ [F]のコンデンサ及びインダクタンス $L$ [H]のコイルからなる交流回路がある。
この回路に流れる電流 $i$ [A]が常に零となるための角周波数 $ω$［rad/s］の値を表す式として、正しいのは次のうちどれか。
2008年（平成20年）問8 過去問解説
回路に流れる電流 $i$ [A]が常に零になるということは、共振を起こしているということです。したがって、
$\displaystyle\frac{1}{ωL}＝ωC$
$ω=\displaystyle\frac{1}{\sqrt{LC}}$
答え (1)
2010年（平成22年）問13
図１は、静電容量 $C$［F］のコンデンサとコイルからなる共振回路の等価回路である。このようにコイルの内部抵抗 $r$［Ω］が存在する場合は、インダクタンス $L$［H］と抵抗 $ｒ$［Ω］の直列回路として表わすことができる。この直列回路はコイルの抵抗 $r$［Ω］が、誘導性リアクタンス $ωL$［Ω］に比べて十分小さいものとすると、図２のように、等価抵抗 $R_p$［Ω］とインダクタンス $L$［H］の並列回路に変換することができる。このときの等価抵抗 $R_p$［Ω］の値を表わす式として、正しいのは次のうちどれか。
ただし、$I_C$［A］は電流源の電流を表わす
2010年（平成22年）問13 過去問解説
図１の抵抗 $r$［Ω］と、インダクタンス $L$［H］の合成インピーダンスを $Z_1$［Ω］とすると、
$Z_1=r+jωL$［Ω］
図２の等価抵抗 $R_p$［Ω］とインダクタンス $L$［H］のの合成インピーダンスを $Z_2$［Ω］とすると、
$Z_2=\displaystyle\frac{jωR_pL}{R_p+jωL}$［Ω］
題意より
$Z_1=Z_2$
$r+jωL=\displaystyle\frac{jωR_pL}{R_p+jωL}$
$(r+jωL)(R_p+jωL)=jωR_pL$
$rR_p+jωrL+jωR_pL-ω^2L^2=jωR_pL$
$R_p=\displaystyle\frac{ω^2L^2-jωrL}{r}$
コイルの抵抗 $r$［Ω］は、誘導性リアクタンス $ωL$［Ω］に比べて十分小さいので、
$R_p≒\displaystyle\frac{(ωL)^2}{r}$
答え (4)
2016年（平成28年）問9
図のように、$R＝1Ω$ の抵抗、インダクタンス $L_1＝0.4mH$、$L_2＝0.2mH$のコイル、及び静電容量 $C＝8μF$ のコンデンサからなる直並列回路がある。この回路に交流電圧 $V＝100V$ を加えたとき、回路のインピーダンスが極めて小さくなる直列共振角周波数 $ω_1$ の値 [rad/s]及び回路のインピーダンスが極めて大きくなる並列共振角周波数 $ω_2$ の値 [rad/s] の組合せとして、最も近いものを次の(1)～(5)のうちから一つ選べ。
2016年（平成28年）問9 過去問解説
回路の合成インピーダンス $\dot{Z}$［Ω］は、
$\begin{eqnarray}\dot{Z}&=&R+jωL_1+\displaystyle\frac{1}{jωC+\displaystyle\frac{1}{jωL_2}}
\\\\&=&R+jωL_1+\displaystyle\frac{jωL_2}{j^2ω^2CL_2+1}
\\\\&=&R+jω\left(L_1+\displaystyle\frac{L_2}{1-ω^2CL_2}\right)\end{eqnarray}$
直列共振は虚数部が0になるときですので、
$L_1+\displaystyle\frac{L_2}{1-ω^2CL_2}=0$
$ω^2CL_1L_2=L_1+L_2$
$\begin{eqnarray}ω&=&\displaystyle\sqrt{\displaystyle\frac{L_1+L_2}{CL_1L_2}}
\\\\&=&\displaystyle\sqrt{\displaystyle\frac{0.4×10^{-3}+0.2×10^{-3}}{8×10^{-6}×0.4×10^{-3}×0.2×10^{-3}}}\\\\&≒&3.06×10^4［rad/s］\end{eqnarray}$
並列共振するためには、
$\begin{eqnarray}ω&=&\displaystyle\frac{1}{\sqrt{L_2C}}
\\\\&=&\displaystyle\frac{1}{\sqrt{0.2×10^{-3}×8×10^{-6}}}\\\\&≒&2.5×10^4［rad/s］\end{eqnarray}$
答え (5)
