単相交流の並列回路【電験3種-理論】

単相交流の並列回路 理論

電験3種の理論で出題される単相交流の並列回路について、初心者の方でも解りやすいように、基礎から解説しています。また、電験3種の試験で、実際に出題された過去問題も解説しています。

$RL$ 並列回路

図のように、抵抗 $R$ とコイル $L$ からなる並列回路は、次のような関係式が成り立ちます。

$\dot{I_R}=\displaystyle \frac{ \dot{V} }{ R }$
$\dot{I_L}=\displaystyle \frac{ \dot{V} }{ jωL }=-j\displaystyle \frac{ \dot{V} }{ ωL }
$
$\dot{I}=\dot{I_R}+\dot{I_L}=(\displaystyle \frac{ 1 }{ R }-j\displaystyle \frac{ 1 }{ ωL })\dot{V}$

電流 $V$ を基準としたフェーザ図は次のようになります。

合成インピーダンス $\dot{Z}$ の大きさ $Z$[Ω]と電源電圧 $\dot{V}$,電流 $\dot{I}$ 間の位相差 $θ$ は次のようになります。

$Z=\displaystyle \frac{1}{\sqrt{(\frac{ 1 }{ R })^2+(\frac{ 1 }{ ωL })^2}}=\displaystyle \frac{ωRL}{\sqrt{R^2+(ωL)^2}}$

$θ=tan^{-1}\displaystyle \frac{- \frac{ 1 }{ ωL }}{\frac{ 1 }{ R }}=tan^{-1}(-\displaystyle \frac{R}{ωL})$

$RC$ 並列回路

図のように、抵抗 $R$ とコンデンサ $C$ からなる並列回路は、次のような関係式が成り立ちます。

$\dot{I_R}=\displaystyle \frac{ \dot{V} }{ R }$
$\dot{I_C}= jωC\dot{V}$
$\dot{I}=\dot{I_R}+\dot{I_C}=(\displaystyle \frac{ 1 }{ R }+jωC)\dot{V}$

電流 $V$ を基準としたフェーザ図は次のようになります。

合成インピーダンス $\dot{Z}$ の大きさ $Z$[Ω]と電源電圧 $\dot{V}$,電流 $\dot{I}$ 間の位相差 $θ$ は次のようになります。

$Z=\displaystyle \frac{1}{\sqrt{(\displaystyle \frac{ 1 }{ R })^2+(ωC)^2}}=\displaystyle \frac{R}{\sqrt{1+(ωCR)^2}}$

$θ=tan^{-1}\displaystyle \frac{ωC}{ \frac{ 1 }{ R }}=tan^{-1}ωCR$

$RLC$ 並列回路

図のように、抵抗 $R$ とコイル $L$ ,コンデンサ $C$ からなる並列回路は、次のような関係式が成り立ちます。

$\dot{I_R}=\displaystyle \frac{ \dot{V} }{ R }$
$\dot{I_L}=\displaystyle \frac{ \dot{V} }{ jωL }=-j\displaystyle \frac{ \dot{V} }{ ωL }
$
$\dot{I_C}= jωC\dot{V}$
$\dot{I}=\dot{I_R}+\dot{I_L}+\dot{I_C}=\{\displaystyle \frac{ 1 }{ R }+j(ωC-\displaystyle \frac{ 1 }{ ωL })\}\dot{V}$

電流 $V$ を基準としたフェーザ図は次のようになります。

合成インピーダンス $\dot{Z}$ の大きさ $Z$[Ω]と電源電圧 $\dot{V}$,電流 $\dot{I}$ 間の位相差 $θ$ は次のようになります。

$Z=\displaystyle \frac{1}{\sqrt{(\frac{1}{R})^2+(ωC- \frac{ 1 }{ ωL })^2}}$

$θ=tan^{-1}(\displaystyle \frac{ωC-\frac{1}{ωL}}{\frac{1}{R}})$

電験3種-理論(交流回路)過去問題

1997年(平成9年)問7

図のような交流回路において、抵抗 $R$のを流れる電流 $I_R$[A]の大きさはいくらか。正しい値を次のうちから選べ。

(1)5 (2)6 (3)7 (4) 8 (5) 9

1997年(平成9年)問7 過去問解説

電圧と電流の関係を図で示します。

図より

$\begin{eqnarray} I&=&\sqrt{{I_R}^2+(I_L-I_C)^2}\\\\&=&\sqrt{{I_R}^2+(17-5)^2}\\\\&=&\sqrt{{I_R}^2+12^2}=13\end{eqnarray} $

${I_R}^2+12^2=13^2$

${I_R}=\sqrt{13^2-12^2}=5$[A]

答え(1)

1999年(平成11年)問11

図のような交流回路において $12$[Ω]の抵抗に $5$[A]の電流が流れた。誘導リアクタンス $X_L$[Ω]の値として、正しい値は次のうちどれか。

(1)3.2 (2)5.3  (3)8.0 (4)12 (5)16

1999年(平成11年)問11 過去問解説

抵抗部分の電圧を $V_R$[V]とすると、並列部分になっているリアクタンス部分の電圧 $V_X$[V]は、

$V_X=\sqrt{V-V_R}=\sqrt{100^2-(5×12)^2}=80$[V]

コンデンサに流れる電流を $I_C$[A]とすると、

$I_C=\displaystyle \frac{V_X}{X_C}=20$[A]

$|I_L-I_C|=5$[A]になるのは、$I_L=15$ と $25$[A]の二つの場合が考えられます。

$I_L=15$[A]の場合

$X_L=\displaystyle \frac{80}{15}=5.3$[Ω]

$I_L=25$[A]の場合

$X_L=\displaystyle \frac{80}{25}=3.2$[Ω]

答え(1)または(2)

2000年(平成12年)問11

図のような回路において、抵抗 $R_2$ に流れる電流 $\dot{I_2}$[A]の値が $5$[A]であるとき、次の(a)及び(b)に答えよ。

(a)抵抗 $R_1$ に流れる電流 $\dot{I}$[A]の値として、正しいは次のうちどれか。ただし、$\dot{I_2}$ を基準ベクトルとする。

(1)$5+j5$ (2)$5-j5$ (3)$10+j5$ (4)$10+j10$ (5)$10-j10$

(b)この回路の電源電圧 $\dot{V}$ の絶対値 $V$[V]の値として、正しいのは次のうちどれか。

(1)100 (2)150 (3)200 (4)250 (5)350

2000年(平成12年)問11 過去問解説

(a)抵抗 $R_2$ の電圧を $\dot{V_2}$[V]とすると、

$\dot{V_2}=R_2\dot{I_2}=10×5=50$[V]

$V_2$[V]は、リアクタンス $X_L$ に加わる電圧と同じですので、$\dot{I_1}$[A]は、

$\dot{I_1}=\displaystyle \frac{50}{jX_L}=\displaystyle \frac{50}{j10}=-j5$[A]

電流 $\dot{I}$[A]は、

$\dot{I}=\dot{I_1}+\dot{I_2}=5-j5$[A]

(b)抵抗 $R_1$ の電圧を $\dot{V_1}$[V]とすると、

$\dot{V_1}=R_1\dot{I_1}=30(5-j5)=150-j150$[V]

電源電圧 $\dot{V}$[V]は、

$\dot{V}=\dot{V_1}+\dot{V_2}=(150-j150)+50=200-j150$

したがって、$|V|$[V]は、

$|V|=\sqrt{200^2+150^2}=250$[V]

答え(a)-(2)、(b)-(4)

2003年(平成15年)問8

図1のように、$R$[Ω]の抵抗、インダクタンス $L$[H]のコイル及び静電容量 $C$[F]のコンデンサを並列に接続した回路がある。この回路に正弦波交流電圧 $e$[V]を加えたとき、この回路の各素子に流れる電流 $i_R$[A]、$i_L$[A]、$i_C$[A]と $e$[V]の時間変化はそれぞれ図2のようで、それぞれの電流の波高値は $10$[A]、$15$[A]、$5$[A]であった。回路に流れる電流 $i$[A]の電圧 $e$[V]に対する位相として、正しいのは次のうちどれか。

2003年(平成15年)問8 過去問解説

電圧と電流の関係を図で示します。

位相差を $θ$ とすると、

$tanθ=\displaystyle \frac{I_L-I_C}{I_R}=\displaystyle \frac{\frac{15}{\sqrt{2}}-\frac{5}{\sqrt{2}}}{\frac{10}{\sqrt{2}}}=1$

$θ=45$[°]の遅れとなります。

答え(4)

2003年(平成15年)問14

図は、破線で囲んだ未知のコイルのインダクタンス $L_x$[H]と抵抗 $R_x$[Ω]を測定するために使用する交流ブリッジ(マクスウェルブリッジ)の等価回路である。このブリッジが平衡した場合のインダクタンス $L_x$[H]と $R_x$[Ω]の値として、正しいものを組み合わせたのは次のうちどれか。
 ただし、交流ブリッジが平衡したときの抵抗器の値は $R_p$[Ω]、$R_q$[Ω]、標準コイルのインダクタンスと抵抗の値はそれぞれ $L_s$[H]、$R_s$[Ω]とする。

2003年(平成15年)問14 過去問解説

ブリッジ回路の平衡条件より

$R_p(R_s+jωL_s)=R_q(R_x+jωL_x)$

$R_pR_s+jωR_pL_s=R_qR_x+jωR_qL_x$

$R_pR_s=R_qR_x$ より

$R_x=\displaystyle \frac{R_pR_s}{R_q}$

$jωR_pL_s=jωR_qL_x$ より

$L_x=\displaystyle \frac{R_pL_s}{R_q}$

答え(4)

2007年(平成19年)問9

図1に示す、$R$[Ω]の抵抗、インダクタンス $L$[H]のコイル、静電容量 $C$[F]のコンデンサからなる並列回路がある。この回路に角周波数 $ω$[rad/s]の交流電圧 $\dot{E}$[V]を加えたところ、この回路に流れる電流 $\dot{I}$[A]、$\dot{I_R}$[A]、$\dot{I_L}$[A]、$\dot{I_C}$[A]のベクトル図が図2に示すようになった。このときの $L$ と$C$ の関係を表す式として、正しいのは次のうちどれか。

2007年(平成19年)問9 過去問解説

ベクトル図より

$I_L<$I_C$

$X_L>$X_C$

$ωL>$\displaystyle \frac{1}{ωC}$

答え(2)

2009年(平成21年)問7

図のように抵抗、コイル、コンデンサからなる負荷がある。この負荷に線間電圧 $\dot{V}_{ab}=100∠0°$[V],$\dot{V}_{bc}=100∠0°$[V],$\dot{V}_{ac}=200∠0°$[V]の単相3線式交流電源を接続したところ、端子 a,端子 b,端子 c を流れる線電流はそれぞれ $\dot{I}_a$[A],$\dot{I}_b$[A]及び $\dot{I}_c$[A]であった。$\dot{I}_a$[A],$\dot{I}_b$[A],$\dot{I}_c$[A]の大きさをそれぞれ $I_a$[A],$I_b$[A] ,$I_c$[A]としたとき,これらの大小関係を表す式をして,正しいのは次のうちどれか。

2009年(平成21年)問7 過去問解説

問題の図より $I_{ab}$[A],$I_{bc}$[A],$I_{ac}$[A]は、

$\begin{eqnarray}\dot{I}_{ab}&=&\displaystyle \frac{\dot{V}_{ab}}{3+j4}\\\\&=&\displaystyle \frac{100}{3+j4}\\\\&=&\displaystyle \frac{100(3-j4)}{(3+j4)(3-j4)}\\\\&=&\displaystyle \frac{100}{25}(3-j4)=12-j16[A]\end{eqnarray}$

$\begin{eqnarray}\dot{I}_{bc}&=&\displaystyle \frac{\dot{V}_{bc}}{4-j3}\\\\&=&\displaystyle \frac{100}{4-j3}\\\\&=&\displaystyle \frac{100(4+j3)}{(4-j3)(4+j3)}\\\\&=&\displaystyle \frac{100}{25}(4+j3)=16+j12[A]\end{eqnarray}$

$\begin{eqnarray}\dot{I}_{ac}&=&\displaystyle \frac{\dot{V}_{ac}}{8+j6}\\\\&=&\displaystyle \frac{200}{8+j6}\\\\&=&\displaystyle \frac{200(8-j6)}{(8+j6)(8-j6)}\\\\&=&\displaystyle \frac{200}{100}(8-j6)=16-j12[A]\end{eqnarray}$

$\dot{I}_a$[A],$\dot{I}_b$[A],$\dot{I}_c$[A]とその大きさ $I_a$[A],$I_b$[A] ,$I_c$[A]は、

$\begin{eqnarray}\dot{I}_a&=&\dot{I}_{ab}+\dot{I}_{ac}\\\\&=&(12-j16)+(16-j12)=28-j28[A]\end{eqnarray}$

$I_a=\sqrt{28^2+28^2}=28\sqrt{2}≒39.6[A]$

$\begin{eqnarray}\dot{I}_b&=&\dot{I}_{bc}-\dot{I}_{ab}\\\\&=&(16+j12)-(12-j16)=4+j28[A]\end{eqnarray}$

$I_b=\sqrt{4^2+28^2}≒28.3[A]$

$\begin{eqnarray}\dot{I}_c&=&-(\dot{I}_{bc}+\dot{I}_{ac})\\\\&=&-\{(16+j12)+(16-j12)\}=-32[A]\end{eqnarray}$

$I_c=32[A]$

したがって、$I_a>I_c>I_b$ になります。

答え(2)

2012年(平成24年)問10

図のように、$R_1=20$[Ω]と $R_2=30$[Ω]の抵抗、静電容量 $C=\displaystyle \frac{1}{100π}$[F]のコンデンサ、インダクタンス $L=\displaystyle \frac{1}{4π}$[H]のコイルからなる回路に周波数 $f$ [Hz]で実効値 $V$[V]が一定の交流電圧を加えた。$f=10$[Hz]のときに $R_1$ を流れる電流の大きさを $I_{10Hz}$[A]、$f=10$[MHz]のときに $R_1$ を流れる電流の大きさを $I_{10MHz}$[A]とする。このとき、電流比 $L=\displaystyle \frac{I_{10Hz}}{I_{10MHz}}$ の値として、最も近いものを次の(1)~(5)のうちから一つ選べ。

(1)0.4 (2)0.6 (3)1.0 (4)1.7 (5)2.5

2012年(平成24年)問10 過去問解説

$f=10$[Hz]のときの回路の合成インピーダンスを $\dot{Z}_{10Hz}$ [Ω]とすると、

$\begin{eqnarray}\dot{Z}_{10Hz}&=&R_1+\displaystyle \frac{1}{\displaystyle \frac{1}{R_2}+\displaystyle \frac{1}{j2πfL}+j2πfC}\\\\&=&20+\displaystyle \frac{1}{\displaystyle \frac{1}{30}+\displaystyle \frac{1}{j2π×10×\displaystyle \frac{1}{4π}}+j2π×10×\displaystyle \frac{1}{100π}}\\\\&=&20+\displaystyle \frac{1}{\displaystyle \frac{1}{30}-j\displaystyle \frac{1}{5}+j\displaystyle \frac{1}{5}}=50[Ω]\end{eqnarray}$

$R_1$ を流れる電流の大きさを $I_{10Hz}$[A]は、

$I_{10Hz}=\displaystyle \frac{V}{\dot{Z}_{10Hz}}=\displaystyle \frac{V}{50}[A]$

$f=10$[MHz]のときの回路の合成インピーダンスを $\dot{Z}_{10MHz}$ [Ω]とすると、

$\begin{eqnarray}\dot{Z}_{10MHz}&=&R_1+\displaystyle \frac{1}{\displaystyle \frac{1}{R_2}+\displaystyle \frac{1}{j2πfL}+j2πfC}\\\\&=&20+\displaystyle \frac{1}{\displaystyle \frac{1}{30}+\displaystyle \frac{1}{j2π×10×10^6×\displaystyle \frac{1}{4π}}+j2π×10×10^6×\displaystyle \frac{1}{100π}}\\\\&=&20+\displaystyle \frac{1}{\displaystyle \frac{1}{30}-j2×10^{-7}+j2×10^5}≒20[Ω]\end{eqnarray}$

$R_1$ を流れる電流の大きさを $I_{10MHz}$[A]は、

$I_{10MHz}=\displaystyle \frac{V}{\dot{Z}_{10MHz}}=\displaystyle \frac{V}{20}[A]$

したがって、電流比 $L=\displaystyle \frac{I_{10Hz}}{I_{10MHz}}$ は、

$L=\displaystyle \frac{\displaystyle \frac{V}{50}}{\displaystyle \frac{V}{20}}=0.4$

答え(1)

2013年(平成25年)問9

図1のように、$R$[Ω]の抵抗、インダクタンス $L$[H]のコイル、静電容量 $C$[F]のコンデンサからなる並列回路がある。この回路に角周波数 $ω$[rad/s]の交流電圧 $v$[V]を加えたところ、この回路に流れる電流は $i$[A]であった。電圧 $v$[V]及び電流 $i$[A]のベクトルをそれぞれ電圧 $\dot{V}$[V]と電流 $\dot{I}$[A]とした場合、両ベクトルの関係を示す図2(ア、イ、ウ)及び $v$[V]と $i$[A]の時間 $t$[s]の経過による変化を示す図3(エ、オ、カ)の組合せとして、正しいものを次の(1)~(5)のうちから一つ選べ。
ただし、$R≫ωL$ 及び $ωL=\displaystyle \frac{2}{ωC}$ とし、一切の過渡現象は無視するものとする。

2013年(平成25年)問9 過去問解説

コイル $L$ に流れる電流を $I_L$[A]、コンデンサ $C$ に流れる電流を $L_C$[A]とすると、

$I_L=\displaystyle \frac{V}{ωL}$[A]

$I_C=ωCV$[A]

$ωL=\displaystyle \frac{2}{ωC}$ なので、

$I_C=ωCV=\displaystyle \frac{2V}{ωL}=2I_L$[A]

コンデンサに流れる電流の方が大きいので、回路全体として容量性になります。また、$R≫ωL$ なので、抵抗分は無視できます。したがって、電流は電圧より 90°進みます。これらを満たす解答は(5)となります。

答え(5)

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