単相交流の電力と力率【電験3種-理論】

単相交流の電力と力率 理論

電験3種の理論で出題される単相交流の電力と力率について、初心者の方でも解りやすいように、基礎から解説しています。また、電験3種の試験で、実際に出題された過去問題も解説しています。

単相交流回路の電力と力率

単相の交流回路で、電源電圧 $e$[V]と電流 $i$[A]が次の式で与えられたとします。

$e=\sqrt{2}Esinωt$[V]
$i=\sqrt{2}Isin(ωt-θ)$[A]

この回路の瞬間消費電力 $p$[W]は、電源電圧 $e$[V]と電流 $i$[A]の積で求めることができます。

$\begin{eqnarray}p=ei&=&\sqrt{2}Esinωt・\sqrt{2}Isin(ωt-θ)\\&=&EIcosθ-EIcos(2ωt-θ)[W]\end{eqnarray}$

この式をグラフに描くと、次のようになります。

交流回路では、 $p$[W]の平均値を電力 $P$[W]と考えます。$p=EIcosθ-EIcos(2ωt-θ)$ の、$EIcosθ$ は、時間に無関係です。つまり平均電力を表します。$EIcos(2ωt-θ)$ は、電源電圧の2倍の周波数を持ち、これを1周期にわたって平均すると $0$ になります。したがって、電力 $P$[W]は、次の式で表すことができます。

$P=EIcosθ$[W]

$E$[V]: 電圧の実効値
$I$[A]:電流の実効値
$cosθ$:電圧と電流の位相差

尚、$cosθ$ のことを力率といいます。力率は負荷のインピーダンス $Z$[Ω]に対する、抵抗 $R$[Ω]の比で表すことができます。

$cosθ=\displaystyle \frac{R}{Z}$

交流電力のベクトル表示

図のような $RL$ 直列回路では、電圧 $\dot{V}$[V]を加えると、電流 $\dot{I}$[A]が流れます。電流 $\dot{I}$ は、電圧 $\dot{V}$ より $θ$ 遅れます。

電流 $\dot{I}$ は、電圧 $\dot{V}$ と同相の $Icosθ$ の有効電流と電圧 $\dot{V}$ より $90°$遅れた $Isinθ$ の無効電流に分けることができます。この有効電流と無効電流に電圧 $V$ を掛けた値は、それぞれ電力を表します。

交流電力には、皮相電力 $S$[V・A]、有効電力 $P$[W]、無効電力 $Q$[var]があり、次のように表すことができます。

皮相電力:$S=VI=I^2Z$[V・A]
有効電力:$P=VIcosθ=I^2R$[W]
無効電力:$Q=VIsinθ=I^2X_L$[var]

上記3式の関係は次のように表すことができます。

$S=\sqrt{P^2+Q^2}$

交流電力の複素表示

交流回路の電圧と電流は、次のように複素数で表すことができます。

$\dot{V}=a+jb$[V]
$\dot{I}=c+jd$[A]

電圧 $\dot{V}$ [V]と電流 $\dot{I}$[A]は、図のように $θ_V$ ,$θ_I$ の位相を持ちます。電圧 $\dot{V}$ と電流 $\dot{I}$ の積で皮相電力を求めたい場合は、共役複素数を使って計算します。

共役複素数とは、複素数 $z=a+bi$ に対して $\overline{ z}=a−bi$ のことをいいます。複素数 $z$ の共役をとるということは、虚部の $±$ の符号を変えるということです。複素平面上では、実軸に関する対称移動に対応しています。

電流を共役複素数として計算すると、遅れ無効電力が正符号として示され、電圧を共役複素数として計算すると、遅れ無効電力が負符号として示されます。

$\dot{V}\overline{\dot{I}}=(a+jb)(c-jd)=ac+bd+j(bc-ad)$
 または
$\overline{\dot{V}}\dot{I}=(a-jb)(c+jd)=ac+bd+j(ad-bc)$

電験3種-理論(交流回路)過去問題

1998年(平成10年)問12

図のような交流回路において、電圧 $\dot{V}$[V]及び電流 $\dot{I}$[A]が次の式で表されるとき、抵抗 $R$ で消費される電力 $P$[W]及びこの回路力率 $cosθ$ の値として、正しいものを組み合わせたのは次のうちどれか。

$\dot{V}=3+j4$
$\dot{I}=4+j3$[A]

(1)$P=12$ $cosθ=0.75$
(2)$P=12$ $cosθ=0.87$
(3)$P=12$ $cosθ=0.96$
(4)$P=24$ $cosθ=0.87$
(5)$P=24$ $cosθ=0.965$

1998年(平成10年)問12 過去問解説

複素電力 $\dot{V}\overline{\dot{I}}$[V・A]は、

$\dot{V}\overline{\dot{I}}=(3+j4)(4-j3)=24+j7$[V・A]

したがって、有効分は24[KW]になります。力率 $cosθ$ は、

$cosθ=\displaystyle \frac{24}{\sqrt{24^2+7^2}}=\displaystyle \frac{24}{25}=0.96$

答え(5)

2001年(平成13年)問4

図の交流回路のおいて、抵抗 $R_2$ で消費される電力[W]として、正しいのは次のうちどれか。

(1)80 (2) 200 (3)400 (4)600 (5)1000

2001年(平成13年)問4 過去問解説

電源電圧の大きさ $E$[V]は、

$E=I_1R_1=10×10=100$[V]

抵抗 $R_2$ に流れる電流の大きさを $I_2$[A]とすると、

$\begin{eqnarray}I_2&=&\displaystyle \frac{E}{\sqrt{{R_2}^2+{X_L}^2}}\\\\&=&\displaystyle \frac{100}{\sqrt{16^2+12^2}}\\\\&=&\displaystyle \frac{100}{\sqrt{400}}=5[A]\end{eqnarray}$

抵抗 $R_2$ で消費される電力 $P_2$[W]は、

$P_2={I_2}^2R=5^2×16=400$[W]

答え(3)

2002年(平成14年)問6

図のように、抵抗 $R$[Ω]と誘導性リアクタンス $X_L$[Ω]が直列に接続された交流回路がある。$\displaystyle \frac{ R }{ X_L }=\displaystyle \frac{ 1 }{ \sqrt{2} }$ の関係があるとき、この回路の力率 $cosθ$ の値として、最も近いのは次のうちどれか。

(1)0.43 (2)0.50 (3)0.58 (4)0.71 (5)0.87

2002年(平成14年)問6 過去問解説

力率は、 $cosθ=\displaystyle \frac{R}{Z}$ で求めることができます。題意より、$ X_L = \sqrt{2}R$ なので、

$\begin{eqnarray}cosθ&=&\displaystyle \frac{R}{\sqrt{R^2+{X_L}^2}}\\\\&=&\displaystyle \frac{R}{\sqrt{R^2+( \sqrt{2}R)^2}}\\\\&=&\displaystyle \frac{R}{\sqrt{ 3R^2}}\\\\&=&\displaystyle \frac{1}{ \sqrt{3}}≒0.58 \end{eqnarray}$

答え(3)

2004年(平成16年)問7

図のような $RC$ 交流回路がある。この回路に正弦波交流電源 $E$[V]を加えたとき、容量性リアクタンス $6$[Ω]のコンデンサの端子間電圧の大きさは $12$[V]であった。このとき、$E$[V]と図の破線で囲んだ回路で消費される電力 $P$[W]の値として、正しいものを組み合わせたのは次のうちどれか。

2004年(平成16年)問7 過去問解説

容量性リアクタンス $6$[Ω]のコンデンサに流れる電流は、$\displaystyle \frac{12}{6}=2$[A]なので、$8$[Ω]の抵抗の両端電圧は、$8×2=16$[V]になります。したがって、電源電圧の大きさ $E$[V]は、

$E=\sqrt{16^2+12^2}=20$[V]

$4$[Ω]の抵抗と容量性リアクタンス $3$[Ω]のコンデンサの合成インピーダンスは、$\sqrt{4^2+3^2}=5$[Ω]なので、流れる電流の大きさは $\displaystyle \frac{20}{5}=4$[A]になります。したがって $P$[W]は、

$P=2^2×8+4^2×4=32+64=96$[W]

答え(2)

2005年(平成17年)問16

図の交流回路において、回路素子は、インダクタンス $L$ のコイル又は静電容量 $C$ のコンデンサである。この回路に正弦波交流電圧 $v=500sin(1000t)$[V]を加えたとき、回路に流れる電流は $i=-50cos(1000t)$[A]であった。このとき、次の(a)及び(b)に答えよ。

(a)回路素子の値として、正しいのは次のうちどれか。

(1)$C=100$[nF] (2)$L=10$[mH] (3)$L=100$[mH] (4)$C=10$[nF] (5)$C=10$[μF]

(b)この回路素子に蓄えられるエネルギーの最大値 $W_{max}$[J]の値として、正しいのは次のうちどれか。
ただし、インダクタンスの場合には $\displaystyle \frac{ 1 }{ 2 }Li^2$ の、静電容量の場合には $\displaystyle \frac{ 1 }{ 2 }CV^2$ のエネルギーが蓄えられるものとする。

(1)125 (2)25 (3)12.5 (4)6.25 (5)2.5

2005年(平成17年)問16 過去問解説

(a)$i=-50cos(1000t)$[A]を変形すると、

$\begin{eqnarray}i&=&-50cos(1000t)\\\\&=&-50sin(\displaystyle \frac{ π }{ 2 }-1000t)\\\\&=&50sin(1000t-\displaystyle \frac{ π }{ 2 })[A]\end{eqnarray}$

電流波形は電圧波形より90°遅れていますので、回路素子はリアクタンスになります。したがって、

$X_L=ωL=\displaystyle \frac{ 500 }{ 50}=10$[Ω]

$L=\displaystyle \frac{ 10 }{ ω}=\displaystyle \frac{ 10 }{ 1000}=10$[mH]

(b)$W_{max}$ は、題意より

$\begin{eqnarray}W_{max}&=&\displaystyle \frac{ 1 }{ 2 }Li^2\\\\&=&\displaystyle \frac{ 1 }{2}×10×10^{-3}×50^2\\\\&=&12.5[J]\end{eqnarray}$

答え(a)-(2)、(b)-(3)

2007年(平成19年)問8

図のように、$8$[Ω]の抵抗と静電容量 $C$[F]のコンデンサを直列に接続した交流回路がある。この回路において、電源 $E$[V]の周波数を $50$[Hz]にしたときの回路の力率は、$80$[%]になる。電源 $E$[V]の周波数を $25$[Hz]にしたときの回路の力率[%]の値として、最も近いのは次のうちどれか。

(1)40 (2)42 (3)56 (4)60 (5)83

2007年(平成19年)問8 過去問解説

周波数 $50$[Hz]のときの容量性リアクタンスを $X_C$[Ω]とすると、力率は $80$[%]ですので、

$cosθ=\displaystyle \frac{ 8 }{ 8^2+{X_C}^2 }=0.8$

$8^2+{X_C}^2=100$

${X_C}=\sqrt{100^2-64^2}=6$

周波数 $25$[Hz]のときの容量性リアクタンスを $X_C’$[Ω]とすると、容量性リアクタンスは、$\displaystyle \frac{ 1 }{ ωC }$[Ω]ですので、

$25X_C’=50X_C=50×6$[Ω]

$X_C’=12$[Ω]

周波数を $25$[Hz]のときの力率を $cosθ’$ とすると、

$cosθ’=\displaystyle \frac{ 8 }{ 8^2+12^2 }≒0.555$

答え(3)

2008年(平成20年)問9

図のように、周波数 $f$[Hz]の交流電圧 $E$[V]の電源に、$R$[Ω]の抵抗、インダクタ ンス $L$[H]のコイルとスイッチSを接続した回路がある。スイッチSが開いているときに回路が消費する電力[W]は、スイッチSが閉じているときに回路が消費する電力[W]の $\displaystyle \frac{1}{2}$ になった。このとき、$L$[H]の値を表す式として、正しいものは次のうち どれか。

(1)$2πfR$ (2)$\displaystyle \frac{R}{2πf}$ (3)$\displaystyle \frac{2πf}{R}$ (4)$\displaystyle \frac{(2πf)^2}{R}$ (5)$(2πf)^2R$

2008年(平成20年)問9 過去問解説

スイッチSが開いているときに回路に流れる電流の大きさを $I_1$[A]、消費する電力を $P_1$[W]とすると、

$I_1=\displaystyle \frac{E}{\sqrt{R^2+(2πfL)^2}}$[A]

$\begin{eqnarray}P_1&=&I_1^2R\\\\&=&\left(\displaystyle \frac{E}{\sqrt{R^2+(2πfL)^2}}\right)^2R\\\\&=&\displaystyle \frac{E^2R}{R^2+(2πfL)^2}[W]\end{eqnarray}$

スイッチSが閉じているときに消費する電力を $P_2$[W]とすると、

$P_2=\displaystyle \frac{E^2}{R}$[W]

題意より

$P_1=\displaystyle \frac{1}{2}P_2$

$\displaystyle \frac{E^2R}{R^2+(2πfL)^2}=\displaystyle \frac{E^2}{2R}$

$2R^2=R^2+(2πfL)^2$

$L=\displaystyle \frac{R}{2πfL}$

答え(2)

2010年(平成22年)問7

抵抗 $R=4$[Ω]と誘導性リアクタンス $X=3$[Ω]が直列に接続された負荷を、図のように線間電圧 $\dot{V_ab} =100∠0°$[V]、$\dot{V_bc} =100∠0°$[V]の単相 3 線式電源に接続した。このとき、これらの負荷で消費される総電力 $P$[W]の値として、正しいのは次のうちどれか。

(1)800 (2)1200 (3)3200 (4)3600 (5)4800

2010年(平成22年)問7 過去問解説

問の回路は単相3線式で、負荷が平衡しています。したがって、中性線には電流が流れません。問の回路を単相分の等価回路で考えます。

上図に流れる電流を $\dot{I}$[A]は、

$\dot{I}=\displaystyle \frac{100}{4+j3}=\displaystyle \frac{100(4-j3)}{(4+j3)(4-j3)}=16-j12$

電流の大きさ $I$[A]は、

$I=\sqrt{16^2+12^2}=20$[A]

単相分の消費電力 $P$[W]は、

$P=RI^2=4×20^2=1600$[W]

単相3線式ですので、$1600$[W]の2倍になります。

答え(3)

2010年(平成22年)問8

抵抗 $R$[Ω]と誘導性リアクタンス $X_L$[Ω]を直列に接続した回路の力率($cosθ$)は、$\displaystyle \frac{1}{2}$ であった。いま、この回路に容量性リアクタンス $X_C$[Ω]を直列に接続したところ、$R$[Ω]、$X_L$[Ω]、$X_C$[Ω]直列回路の力率は、$\displaystyle \frac{\sqrt{3}}{2}$(遅れ)になった。容量性リアクタンス $X_C$[Ω]の値を表す式として、正しいのは次のうちどれか。

(1)$\displaystyle \frac{R}{\sqrt{3}}$ (2)$\displaystyle \frac{2R}{3}$ (3)$\displaystyle \frac{\sqrt{3}R}{2}$(4)$\displaystyle \frac{2R}{\sqrt{3}}$ (5)$\sqrt{3}R$

2010年(平成22年)問8 過去問解説

抵抗 $R$[Ω]と誘導性リアクタンス $X_L$[Ω]を直列に接続した回路の力率 $cosθ$ は、

$cosθ=\displaystyle \frac{R}{\sqrt{R^2+{X_L}^2}}=\displaystyle \frac{1}{2}$

$2R=\sqrt{R^2+{X_L}^2}$

$X_L=\sqrt{3}R$

$R$[Ω]、$X_L$[Ω]、$X_C$[Ω]直列回路の力率 $cosθ’$ は

$cosθ’=\displaystyle \frac{R}{\sqrt{R^2+(X_L-X_C)^2}}=\displaystyle \frac{\sqrt{3}}{2}$

$X_L=\sqrt{3}R$ を代入すると、

$\displaystyle \frac{R}{\sqrt{R^2+(\sqrt{3}R-X_C)^2}}=\displaystyle \frac{\sqrt{3}}{2}$

$2R=\sqrt{3}×\sqrt{R^2+(\sqrt{3}R-X_C)^2}$

$4R^2=3R^2+3(\sqrt{3}R-X_C)^2$

$X_C=\displaystyle \frac{2R}{\sqrt{3}}$

答え(4)

2011年(平成23年)問8

図の交流回路において、電源電圧を $\dot{E}=140∠0°$[V]とする。いま、この電源に力率 $0.6$ の誘導性負荷を接続したところ、電源から流れ出る電流の大きさは $37.5$[A]であった。次に、スイッチSを閉じ、この誘導性負荷と並列に抵抗 $R$[Ω]を接続したところ、電源から流れ出る電流の大きさが $50$[A]となった。このとき、抵抗 $R$[Ω]の大きさとして、正しいものを次の(1)~(5)のうちから一つ選べ.

(1)3.9 (2)5.6 (3)8.0 (4)9.6 (5)11.2

2011年(平成23年)問8 過去問解説

スイッチを開いているときに誘導性負荷に流れる電流を $\dot{I}_L$[A]とすると、

$\begin{eqnarray}\dot{I}_L&=&37.5(cosθ-jsinθ)\\\\&=&37.5(0.6-j0.8)=22.5-j30[A]\end{eqnarray}$

スイッチを閉じたときに抵抗に流れる電流を $\dot{I}_R$[A]とすると、

$\dot{I}_R+\dot{I}_L=\dot{I}_R+22.5-j30=50$

電流の大きさを $I_R$[A]は、

$\sqrt{(I_R+22.5)^2+30^2}=50$

$(I_R+22.5)^2+30^2=50^2$

$(I_R+22.5)^2=40^2$

$(I_R+22.5)=40$

$I_R=17.5$[A]

したがって、抵抗 $R$[Ω]は

$R=\displaystyle \frac{140}{17.5}=8.0$

答え(3)

2012年(平成24年)問8

図のように、正弦波交流電圧 $E=200$[V]の電源がインダクタンス $L$[H]のコイルと $R$[Ω]の抵抗との直列回路に電力を供給している。回路を流れる電流が $I=10$[A]、回路の無効電力が $Q=1200$[var] のとき、抵抗 $R$[Ω]の値として、正しいものを次の(1)~(5)のうちから一つ選べ。

(1)4 (2)8 (3)12 (4)16 (5)20

2012年(平成24年)問8 過去問解説

回路の皮相電力を $S$[V・A]、有効電力を $P$[W]とすると、

$S=EI=200×10=2000$[V・A]
$\begin{eqnarray}P&=&\sqrt{P^2-Q^2}\\\\&=&\sqrt{2000^2-1200^2}=1600\\\\&=&I^2R[W]\end{eqnarray}$

したがって抵抗 $R$[Ω]は、

$R=\displaystyle \frac{1600}{10^2}=16$[Ω]

答え(4)

2014年(平成26年)問8

図の交流回路において、電源を流れる電流 $I$[A]の大きさが最小となるように静電容量 $C$[F]の値を調整した。このときの回路の力率の値として、最も近いものを次の(1)~(5)のうちから一つ選べ。

(1)0.11 (2)0.50 (3)0.71 (4)0.87 (5)1

2014年(平成26年)問8 過去問解説

コンデンサに流れる電流を $\dot{I_C}$[A]、抵抗とコイルに流れる電流を $\dot{I}_{RL}$[A]とすると、

$\dot{I}_C=jωCV$[A]

$\begin{eqnarray}\dot{I}_{RL}&=&\displaystyle \frac{V}{R+jωL}\\\\&=&\displaystyle \frac{V(R-jωL)}{(R+jωL)(R-jωL)}\\\\&=&\displaystyle \frac{V(R-jωL)}{R^2+(ωL)^2}[A]\end{eqnarray}$

電源を流れる電流 $\dot{I}$[A]は、

$\begin{eqnarray}\dot{I}&=&\dot{I}_C+\dot{I}_{RL}\\\\&=&jωCV+\displaystyle \frac{V(R-jωL)}{R^2+(ωL)^2}\\\\&=&\left( \displaystyle \frac{R}{R^2+(ωL)^2}+jω\left( C-\displaystyle \frac{L}{R^2+(ωL)^2} \right) \right)×V[A]\end{eqnarray}$

電流 $\dot{I}$[A]を最小にする条件は、虚数部分が $0$ になるときです。したがって、電流 $I$[A]の大きさは実数部分だけになりますので、有効電流のみ流れます。有効電流のみということは、力率は $1$ になります。

答え(5)

2014年(平成26年)問10

交流回路に関する記述として、誤っているものを次の(1)~(5)のうちから一つ選べ。
ただし、抵抗 $R$[Ω]、インダクタンス $L$[H]、静電容量 $C$[F]とする。

(1) 正弦波交流起電力の最大値を $E_m$[V]、平均値を $E_a$[V]とすると、平均値と最大値の関係は、理論的に次のように表される。

$E_a=\displaystyle \frac{2E_m}{π}≒0.637E_m[V]$

(2) ある交流起電力の時刻 $t$[s]における瞬時値が、$e=100sin100πt $[V]であるとすると、この起電力の周期は $20ms$ である。

(3) RLC直列回路に角周波数 $ω$[rad/s]の交流電圧を加えたとき、$ωL>\displaystyle \frac{1}{ωC}$の場合、回路を流れる電流の位相は回路に加えた電圧より遅れ、 $ωL<\displaystyle \frac{1}{ωC}$ の場合、回路を流れる電流の位相は回路に加えた電圧より進む。

(4) RLC直列回路に角周波数 $ω$[rad/s] の交流電圧を加えたとき、$ωL=\displaystyle \frac{1}{ωC}$の場合、回路のインピーダンス $Z$ [Ω] は、$Z=R$[Ω]となり、回路に加えた電圧と電流は同相になる。この状態を回路が共振状態であるという。

(5) $RLC$ 直列回路のインピーダンス $Z$[Ω]、電力 $P$[W]及び皮相電力 $S $[V・A] を使って回路の力率 $cosθ$を表すと、$cosθ=\displaystyle \frac{R}{Z}$,$cosθ=\displaystyle \frac{S}{P}$  の関係がある。

2014年(平成26年)問10 過去問解説

(1)正しい記述です。

(2)正しい記述です。

$2πf=100πt$
$f=50$[Hz]
$T=\displaystyle \frac{1}{T}=\displaystyle \frac{1}{50}=0.02$[s]

(3)正しい記述です。

交流電圧を $\dot{V}$、回路を流れる電流を $\dot{I}$ とすると、

$\dot{I}=\displaystyle \frac{\dot{V}}{R+j(ωL-\displaystyle \frac{1}{ωC})}$

$ωL>\displaystyle \frac{1}{ωC}$の場合、回路を流れる電流の位相は回路に加えた電圧より遅れ、 $ωL<\displaystyle \frac{1}{ωC}$ の場合、回路を流れる電流の位相は回路に加えた電圧より進みます。

(4)正しい記述です。

$ωL=\displaystyle \frac{1}{ωC}$の場合は、共振状態です。

(5)誤った記述です。

$cosθ=\displaystyle \frac{有効電力}{皮相電力}=\displaystyle \frac{P}{S}$

答え(5)

2015年(平成27年)問8

$R=10$[Ω]の抵抗と誘導性リアクタンス $X$[Ω]のコイルとを直列に接続し、$100$[V]の交流電源に接続した交流回路がある。いま、回路に流れる電流の値は $I=5$[A]であった。このとき、回路の有効電力 $P$ の値 [W]として、最も近いものを次の(1)~(5)のうちから一つ選べ。

(1)250 (2)289 (3)425 (4)500 (5)577

2015年(平成27年)問8 過去問解説

$P=I^2R=5^2×10=250$[W]

答え(1)

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