相互インダクタンス

このページでは、相互インダクタンスについて、初心者の方でも解りやすいように、基礎から解説しています。また、電験三種の理論科目で、実際に出題された相互インダクタンスの過去問題の求め方も解説しています。

相互誘導と相互インダクタンス

相互誘導作用

図のような、コイルを含む回路が２つあります。左の回路には電源が付いてますが、右の回路には電源がありません。

左の回路（１次コイル）のスイッチを入れれば、コイル内部に磁界が発生します。右の回路（２次コイル）があまり離れてなければ、１次コイルの磁界が２次コイルに影響を与えます。

１次コイルの電流が一定なら何も起こりませんが、スイッチの開閉によって電流が変化すると、１次コイルの磁界が変化し、２次コイルは電磁誘導が起こります。そして、電源の無いはずの右の回路に電流が流れます。この現象を相互誘導といいます。

相互インダクタンス

図にように環状鉄心に巻かれた１次コイルと２次コイルの巻数を $N_1$ 、$N_2$ とし、コイルの断面積を $S$［m²］、コイルの長さ $l$［m］、１次コイル $L_1$ に流れる電流を $ΔI_1$［A］とします。

ファラデーの電磁誘導の法則より、時間 $Δt $［s］の間にコイルを貫く磁束が $Δ ϕ _1$［Wb］だけ変化するとき、２次コイルに発生する誘導起電力 $e_2$［V］は、次のように表されます。

$e_2=-N_2\displaystyle\frac{Δ ϕ _1}{Δt}$［V］

磁気回路のオームの法則は次のように表されます。

$R_{ m }=\displaystyle \frac{ N_1ΔI}{ Δ ϕ _1}=\displaystyle \frac{ l}{ μS}$

$Δ ϕ _1=\displaystyle\frac{μSN_1ΔI}{l }$［Wb］

この式を$e_2=-N_2\displaystyle\frac{Δ ϕ _1}{Δt}$に代入すると、

$e_2=-N_2\displaystyle\frac{1}{Δt}×\displaystyle\frac{μSN_1ΔI}{l }=-\displaystyle\frac{μSN_1N_2}{l}\frac{ΔI}{Δt}$［V］

この $\displaystyle\frac{μSN_1N_2}{l}$ を相互インダクタンスいい、記号 $M$（単位　ヘンリー［H］）で表します。

$M=\displaystyle\frac{μSN_1N_2}{l}$［H］

インダクタンスの結合係数

１次コイルに$ΔI_1$［Ａ］の電流を流したとき、$Δ ϕ _1$［Wb］の磁束が発生するとします。この磁束がすべて２次コイルと鎖交するとすれば、

$L_1=N_1\displaystyle\frac{Δ ϕ _1}{ΔI_1}$［H］

$M=N_2\displaystyle\frac{Δ ϕ _1}{ΔI_1}$［H］

となります。

２次コイルに$ΔI_2$［Ａ］の電流を流したとき、$Δ ϕ _2$［Wb］の磁束が発生するとします。この磁束がすべて１次コイルと鎖交するとすれば、

$L_2=N_2\displaystyle\frac{Δ ϕ _2}{ΔI_2}$［H］

$M=N_1\displaystyle\frac{Δ ϕ _2}{ΔI_2}$［H］

となります。

これらの式より

$\begin{eqnarray}L_1×L_2&=&\left(N_1\displaystyle\frac{Δ ϕ _1}{ΔI_1}\right)×\left(N_2\displaystyle\frac{Δ ϕ _2}{ΔI_2}\right)\\\\&=&\left(N_2\displaystyle\frac{Δ ϕ _1}{ΔI_1}\right)×\left(N_1\displaystyle\frac{Δ ϕ _2}{ΔI_2}\right)\\\\&=&M^2\end{eqnarray} $

$M=\displaystyle\sqrt{L_1L_2}$

しかし、普通はいくらかの漏れ磁束が発生します。二つの磁束の結びつきを示すのに、結合係数（記号 $k$ ）を使って表します。

$M=k\displaystyle\sqrt{L_1L_2}$

結合係数 $ k $ は $0<k≦1$ の範囲になります。

インダクタンスの和動接続と差動接続

１次コイルと２次コイルがつくる磁界が同じ向きになる接続方法を和動接続といい、磁界の向きが逆になるような接続方法を差動接続といいます。

和動接続

端子１－４から見た全体の合成インダクタンスは次のようになります。

$\begin{eqnarray}L&=&N_1\displaystyle\frac{ ϕ _1+ ϕ _2}{I}+N_2\displaystyle\frac{ ϕ _1+ ϕ _2}{I}\\\\&=&N_1\displaystyle\frac{ ϕ _1}{I}+N_1\displaystyle\frac{ ϕ _2}{I}+N_2\displaystyle\frac{ ϕ _1}{I}+N_2\displaystyle\frac{ ϕ _2}{I}\\\\&=&L_1+M+M+L_2\\\\&=&L_1+L_2+2M\end{eqnarray} $

差動接続

端子１－３間の全体の合成インダクタンスは次のようになります。

$\begin{eqnarray}L&=&N_1\displaystyle\frac{ ϕ _1- ϕ _2}{I}+N_2\displaystyle\frac{ ϕ _2- ϕ _1}{I}\\\\&=&N_1\displaystyle\frac{ ϕ _1}{I}-N_1\displaystyle\frac{ ϕ _2}{I}+N_2\displaystyle\frac{ ϕ _2}{I}-N_2\displaystyle\frac{ ϕ _1}{I}\\\\&=&L_1-M+L_2-M\\\\&=&L_1+L_2-2M\end{eqnarray} $

　　

電験三種－理論（電磁気）過去問

(財)電気技術者試験センターが作成した、第三種電気主任技術者試験の理論科目で出題された問題です。

1999年（平成11年）問2

A、B二つのコイルがあり、Aコイルに流れる電流 i［A］を 1/1000 秒間に 40［mA］変化させている間、Bコイルに 0.3［V］の起電力を発生する。この両コイル間の相互インダクタンス M［mH］の値として、正しいのは次のうちどれか。

(1) 0.65　(2) 0.75　(3) 5.5　(4) 6.5　(5) 7.5

1999年（平成11年）問2　過去問解説

2次コイルに発生する起電力 $e_2$は、１次コイルに流れる電流の変化に影響し、$Δt$秒間に $ΔI_1$だけ変化した場合、次のように表されます。

$|e_2|=M\displaystyle\frac{ΔI_1}{Δt}$

$M=e_2\displaystyle\frac{Δt}{ΔI_1}=0.3×\displaystyle\frac{1×10^{-3}}{0.04}=7.5×10^{-3}=7.5$［mH］

答え (5)

2003年（平成15年）問4

図のように、環状鉄心にコイル１及びコイル２が巻かれている。コイル１、コイル２の自己インダクタンスをそれぞれ $L_1$、$L_2$とし、その巻数をそれぞれ $N_1=100$、$N_2=1000$としたとき、$L_1=1×10^{-3}$［H］であった。このとき、自己インダクタンス $L_2$［H］の値と、コイル１とコイル２の相互インダクタンス $M$［H］の値として、正しいものを組み合わせたのは次のうちどれか。
ただし、鉄心は等断面、等質であり、コイル及び鉄心の漏れ磁束はないものとする。 

2003年（平成15年）問4　過去問解説

自己インダクタンス $L$ は、

$L=\displaystyle\frac{μSN^2}{l}=\displaystyle\frac{N^2}{R_{ m }}$

ですので、$L_1$ と $L_2$ は

$L_1=\displaystyle\frac{N_1^2}{R_{ m }}$

$L_2=\displaystyle\frac{N_2^2}{R_{ m }}$

となります。2式より、

$\displaystyle\frac{N_1^2}{L_1}=\displaystyle\frac{N_2^2}{L_2}$

${L_2}=\displaystyle\frac{N_2^2}{N_1^2}×{L_1}=\displaystyle\frac{1000^2}{100^2}×1×10^{-3}=1×10^{-1}$

磁束の漏れがないときの、自己インダクタンス$L_1$ 、 $L_2$ と相互インダクタンス $M$ の関係は、

$M=\displaystyle\sqrt{L_1L_2}=\displaystyle\sqrt{1×10^{-3}×1×10^{-1}}=1×10^{-2}$

答え (1)

2008年（平成20年）問4

図のように、環状鉄心に二つのコイルが巻かれている。コイル１の巻数は $N$ であり、その自己インダクタンスは $L$［H］である。コイル２の巻数は $n$であり、その自己インダクタンスは $4L$［H］である。巻数 $n$ の値を表す式として、正しいのは次のうちどれか。
ただし、鉄心は等断面、等質であり、コイル及び鉄心の漏れ磁束はなく、また鉄心の磁気飽和もないものとする。

(1) $\displaystyle\frac{N}{4}$　(2) $\displaystyle\frac{N}{2}$　(3) 2N　(4) 4N　(5) 16N

2008年（平成20年）問4　過去問解説

自己インダクタンス $L$ は、

$L=\displaystyle\frac{μSN^2}{l}=\displaystyle\frac{N^2}{R_{ m }}$

ですので、$L_1$ と $L_2$ は

$L_1=\displaystyle\frac{N^2}{R_{ m }}=L$

$L_2=\displaystyle\frac{n^2}{R_{ m }}=4L$

となります。2式より、

$\displaystyle4\frac{N^2}{R_{ m }}=\displaystyle\frac{n^2}{R_{ m }}$

$n^2=2N$

答え (3)

2012年（平成24年）問3

次の文章は、コイルのインダクタンスに関する記述である。ここで、鉄心の磁気飽和は、無視するものとする。
均質で等断面の環状鉄心に被覆電線を巻いてコイルを作製した。このコイルの自己インダクタンスは、巻数の（　ア　）に比例し、磁路の（　イ　）に反比例する。
同じ鉄心にさらに被覆電線を巻いて別のコイルを作ると、これら二つのコイル間には相互インダクタンスが生じる。相互インダクタンスの大きさは、漏れ磁束が（　ウ　）なるほど小さくなる。それぞれのコイルの自己インダクタンスを $L_1 $［H］、$L_2$ ［H］とすると、相互インダクタンスの最大値は（　エ　）［H］である。
これら二つのコイルを（　オ　）とすると、合成インダクタンスの値は、それぞれの自己インダクタンスの合計値よりも大きくなる。

上記の記述中の空白箇所(ア)，(イ)，(ウ)，(エ)及び(オ)に当てはまる組合せとして、正しいものを次の(1)～(5)のうちから一つ選べ。

	（ア）	（イ）	（ウ）	（エ）	（オ）
（１）	１乗	断面積	少なく	$L1+L2$	差動接続
（２）	２乗	長さ	多く	$L1+L2$	和動接続
（３）	１乗	断面積	少なく	$\sqrt{L_1L_2}$	和動接続
（４）	２乗	長さ	多く	$L1+L2$	差動接続
（５）	２乗	長さ	多く	$\sqrt{L_1L_2}$	和動接続

2012年（平成24年）問3　過去問解説

自己インダクタンス $L$ は、

$L=\displaystyle\frac{μSN^2}{l}$

ですので、巻数の（　２乗　）に比例し、磁路の（　長さ　）に反比例します。

漏れ磁束の大小は、二つの磁束の結びつきを示す、結合係数 $k$ を使って表します。

$M=k\displaystyle\sqrt{L_1L_2}$

結合係数 $ k $ は $0<k≦1$ の範囲です。相互インダクタンスの大きさは、漏れ磁束が（　多く　）なるほど小さくなる。相互インダクタンスの最大値はk=1のときで、（　$\sqrt{L_1L_2}$　）［H］です。

インダクタンスの直列接続には和動接続と差動接続があります。

和動接続は、$L_1+L_2+2M$

差動接続は、$L_1+L_2-2M$

です。それぞれの自己インダクタンスの合計値よりも大きくなるのは、（　和動接続　）です。

答え (5)

2017年（平成29年）問3

環状鉄心に、コイル1及びコイル2が巻かれている。二つのコイルを図1のように接続したとき、端子A-B間の合成インダクタンスの値は $1.2H$ であった。次に、図2のように接続したとき、端子C-D間の合成インダクタンスの値は $2.0H$ であった。このことから、コイル1の自己インダクタンス $L$ の値［H］、コイル1及びコイル2の相互インダクタンス $M$ の値［H］の組合せとして、正しいものを次の（ 1 ）～（ 5 ）のうちから一つ選べ。
ただし、コイル1及びコイル2の自己インダクタンスはともにL［H］、その巻数をNとし、また、鉄心は等断面、等質であるとする。

2017年（平成29年）問3　過去問解説

端子A-B間の合成インダクタンスを $L_{AB}$［H］，端子C-D間の合成インダクタンスを $L_{CD}$［H］とすると、図１は差動接続、図２は和動接続ですので、

$L_{AB}＝L+L-2M＝2L-2M＝1.2$［H］

$L_{CD}＝L+L+2M＝2L+2M＝2.0$［H］

この連立方程式を解くと、$L=0.8$［H］，$M=0.2$［H］

答え（２）