相互インダクタンス【電験3種-理論】

理論

電験3種の理論で出題される相互インダクタンスについて、初心者の方でも解りやすいように、基礎から解説しています。また、電験3種の試験で、実際に出題された過去問題も解説しています。

相互誘導と相互インダクタンス

相互誘導作用

相互誘導

図のような、コイルを含む回路が2つあります。左の回路には電源が付いてますが、右の回路には電源がありません。

左の回路(1次コイル)のスイッチを入れれば、コイル内部に磁界が発生します。右の回路(2次コイル)があまり離れてなければ、1次コイルの磁界が2次コイルに影響を与えます。

1次コイルの電流が一定なら何も起こりませんが、スイッチの開閉によって電流が変化すると、1次コイルの磁界が変化し、2次コイルは電磁誘導が起こります。そして、電源の無いはずの右の回路に電流が流れます。この現象を相互誘導といいます。

相互インダクタンス

相互インダクタンス

図にように環状鉄心に巻かれた1次コイルと2次コイルの巻数を $N_1$ 、$N_2$ とし、コイルの断面積を$S$[㎡]、コイルの長さ $l$[m]、1次コイル $L_1$ に流れる電流を $ΔI_1$[A]とします。

ファラデーの電磁誘導の法則より、時間 $Δt $[s]の間にコイルを貫く磁束が $Δφ_1$[Wb]だけ変化するとき、2次コイルに発生する誘導起電力 $e_2$[V]は、次のように表されます。

$e_2=-N_2\displaystyle\frac{Δφ_1}{Δt}$[V]

磁気回路のオームの法則は次のように表されます。

$R_{ m }=\displaystyle \frac{ N_1ΔI}{ Δφ_1}=\displaystyle \frac{ l}{ μS}$

$Δφ_1=\displaystyle\frac{μSN_1ΔI}{l }$[Wb]

この式を$e_2=-N_2\displaystyle\frac{Δφ_1}{Δt}$に代入すると、

$e_2=-N_2\displaystyle\frac{1}{Δt}×\displaystyle\frac{μSN_1ΔI}{l }=-\displaystyle\frac{μSN_1N_2}{l}\frac{ΔI}{Δt}$[V]

この $\displaystyle\frac{μSN_1N_2}{l}$ を相互インダクタンスいい、記号 $M$(単位 ヘンリー[H])で表します。

$M=\displaystyle\frac{μSN_1N_2}{l}$[H]

相互インダクタンス

2次コイルに発生する起電力 $e_2$は、1次コイルに流れる電流の変化に影響し、$Δt$秒間に $ΔI_1$だけ変化した場合、次のように表されます。

$e_2=-M\displaystyle\frac{ΔI_1}{Δt}$[V]

ファラデーの法則より

$e_2=-N_2\displaystyle\frac{Δφ_1}{Δt}=-M\frac{ΔI_1}{Δt}$[V]

$M=N_2\displaystyle\frac{Δφ_1}{ΔI_1}$[H]

と表わすこともできます。

インダクタンスの結合係数

結合係数

1次コイルに$ΔI_1$[A]の電流を流したとき、$Δφ_1$[Wb]の磁束が発生するとします。この磁束がすべて2次コイルと鎖交するとすれば、

$L_1=N_1\displaystyle\frac{Δφ_1}{ΔI_1}$[H]

$M=N_2\displaystyle\frac{Δφ_1}{ΔI_1}$[H]

となります。

2次コイルに$ΔI_2$[A]の電流を流したとき、$Δφ_2$[Wb]の磁束が発生するとします。この磁束がすべて1次コイルと鎖交するとすれば、

$L_2=N_2\displaystyle\frac{Δφ_2}{ΔI_2}$[H]

$M=N_1\displaystyle\frac{Δφ_2}{ΔI_2}$[H]

となります。

これらの式より

$\begin{eqnarray}L_1×L_2&=&\left(N_1\displaystyle\frac{Δφ_1}{ΔI_1}\right)×\left(N_2\displaystyle\frac{Δφ_2}{ΔI_2}\right)\\\\&=&\left(N_2\displaystyle\frac{Δφ_1}{ΔI_1}\right)×\left(N_1\displaystyle\frac{Δφ_2}{ΔI_2}\right)\\\\&=&M^2\end{eqnarray} $

$M=\displaystyle\sqrt{L_1L_2}$

しかし、普通はいくらかの漏れ磁束が発生します。二つの磁束の結びつきを示すのに、結合係数(記号 $k$ )を使って表します。

$M=k\displaystyle\sqrt{L_1L_2}$

結合係数 $ k $ は $0<k≦1$ の範囲になります。

インダクタンスの和動接続と差動接続

1次コイルと2次コイルがつくる磁界が同じ向きになる接続方法を和動接続といい、磁界の向きが逆になるような接続方法を差動接続といいます。

和動接続

和動接続

端子1-4から見た全体の自己インダクタンスは次のようになります。

$\begin{eqnarray}L&=&N_1\displaystyle\frac{φ_1+φ_2}{I}+N_2\displaystyle\frac{φ_1+φ_2}{I}\\\\&=&N_1\displaystyle\frac{φ_1}{I}+N_1\displaystyle\frac{φ_2}{I}+N_2\displaystyle\frac{φ_1}{I}+N_2\displaystyle\frac{φ_2}{I}\\\\&=&L_1+M+M+L_2\\\\&=&L_1+L_2+2M\end{eqnarray} $

差動接続

差動接続

端子1-3間の全体の自己インダクタンスは次のようになります。

$\begin{eqnarray}L&=&N_1\displaystyle\frac{φ_1-φ_2}{I}+N_2\displaystyle\frac{φ_2-φ_1}{I}\\\\&=&N_1\displaystyle\frac{φ_1}{I}-N_1\displaystyle\frac{φ_2}{I}+N_2\displaystyle\frac{φ_2}{I}-N_2\displaystyle\frac{φ_1}{I}\\\\&=&L_1-M+L_2-M\\\\&=&L_1+L_2-2M\end{eqnarray} $

電験3種-理論(電磁気)過去問題

1999年(平成11年)問2

A、B二つのコイルがあり、Aコイルに流れる電流 i[A]を 1/1000 秒間に 40[mA]変化させている間、Bコイルに 0.3[V]の起電力を発生する。この両コイル間の相互インダクタンス M[mH]の値として、正しいのは次のうちどれか。

1999年問2

(1)0.65 (2)0.75 (3)5.5 (4)6.5 (5)7.5

1999年(平成11年)問2 過去問解説

2次コイルに発生する起電力 $e_2$は、1次コイルに流れる電流の変化に影響し、$Δt$秒間に $ΔI_1$だけ変化した場合、次のように表されます。

$|e_2|=M\displaystyle\frac{ΔI_1}{Δt}$

$M=e_2\displaystyle\frac{Δt}{ΔI_1}=0.3×\displaystyle\frac{1×10^{-3}}{0.05}=7.5×10^{-3}$

答え(5)

2003年(平成15年)問4

図のように、環状鉄心にコイル1及びコイル2が巻かれている。コイル1、コイル2の自己インダクタンスをそれぞれ $L_1$、$L_2$とし、その巻数をそれぞれ $N_1=100$、$N_2=1000$としたとき、$L_1=1×10^{-3}$[H]であった。このとき、自己インダクタンス $L_2$[H]の値と、コイル1とコイル2の相互インダクタンス $M$[H]の値として、正しいものを組み合わせたのは次のうちどれか。
ただし、鉄心は等断面、等質であり、コイル及び鉄心の漏れ磁束はないものとする。 2003年問4

2003年(平成15年)問4 過去問解説

自己インダクタンス $L$ は、

$L=\displaystyle\frac{μSN^2}{l}=\displaystyle\frac{N^2}{R_{ m }}$

ですので、$L_1$ と $L_2$ は

$L_1=\displaystyle\frac{N_1^2}{R_{ m }}$

$L_2=\displaystyle\frac{N_2^2}{R_{ m }}$

となります。2式より、

$\displaystyle\frac{N_1^2}{L_1}=\displaystyle\frac{N_2^2}{L_2}$

${L_2}=\displaystyle\frac{N_2^2}{N_1^2}×{L_1}=\displaystyle\frac{1000^2}{100^2}×1×10^{-3}=1×10^{-1}$

磁束の漏れがないときの、自己インダクタンス$L_1$ 、 $L_2$ と相互インダクタンス $M$ の関係は、

$M=\displaystyle\sqrt{L_1L_2}=\displaystyle\sqrt{1×10^{-3}×1×10^{-1}}=1×10^{-2}$

答え(1)

2008年(平成20年)問4

図のように、環状鉄心に二つのコイルが巻かれている。コイル1の巻数は $N$ であり、その自己インダクタンスは $L$[H]である。コイル2の巻数は $n$であり、その自己インダクタンスは $4L$[H]である。巻数 $n$ の値を表す式として、正しいのは次のうちどれか。
ただし、鉄心は等断面、等質であり、コイル及び鉄心の漏れ磁束はなく、また鉄心の磁気飽和もないものとする。

2008年問4

2008年(平成20年)問4 過去問解説

自己インダクタンス $L$ は、

$L=\displaystyle\frac{μSN^2}{l}=\displaystyle\frac{N^2}{R_{ m }}$

ですので、$L_1$ と $L_2$ は

$L_1=\displaystyle\frac{N^2}{R_{ m }}=L$

$L_2=\displaystyle\frac{n^2}{R_{ m }}=4L$

となります。2式より、

$\displaystyle4\frac{N^2}{R_{ m }}=\displaystyle\frac{n^2}{R_{ m }}$

$n^2=2N$

答え(3)

2012年(平成24年)問3

次の文章は、コイルのインダクタンスに関する記述である。ここで、鉄心の磁気飽和は、無視するものとする。
均質で等断面の環状鉄心に被覆電線を巻いてコイルを作製した。このコイルの自己インダクタンスは、巻数の( ア )に比例し、磁路の( イ )に反比例する。
同じ鉄心にさらに被覆電線を巻いて別のコイルを作ると、これら二つのコイル間には相互インダクタンスが生じる。相互インダクタンスの大きさは、漏れ磁束が( ウ )なるほど小さくなる。それぞれのコイルの自己インダクタンスを $L_1 $[H]、$L_2$ [H]とすると、相互インダクタンスの最大値は( エ )[H]である。
これら二つのコイルを( オ )とすると、合成インダクタンスの値は、それぞれの自己インダクタンスの合計値よりも大きくなる。
上記の記述中の空白箇所( ア )、( イ )、( ウ )、( エ )及び( オ )に当てはまる組合せとして、正しいものを次の(1)~(5)のうちから一つ選べ。

(ア)(イ)(ウ)(エ)(オ)
(1)1乗断面積少なく$L1+L2$差動接続
(2)2乗長さ多く$L1+L2$和動接続
(3)1乗断面積少なく$\sqrt{L_1L_2}$和動接続
(4)2乗長さ多く$L1+L2$差動接続
(5)2乗長さ多く$\sqrt{L_1L_2}$和動接続

2012年(平成24年)問3 過去問解説

自己インダクタンス $L$ は、

$L=\displaystyle\frac{μSN^2}{l}$

ですので、巻数の( 2乗 )に比例し、磁路の( 長さ )に反比例します。

漏れ磁束の大小は、二つの磁束の結びつきを示す、結合係数 $k$ を使って表します。

$M=k\displaystyle\sqrt{L_1L_2}$

結合係数 $ k $ は $0<k≦1$ の範囲です。相互インダクタンスの大きさは、漏れ磁束が( 多く )なるほど小さくなる。相互インダクタンスの最大値はk=1のときで、( $\sqrt{L_1L_2}$ )[H]です。

インダクタンスの直列接続には和動接続と差動接続があります。

和動接続は、$L_1+L_2+2M$

差動接続は、$L_1+L_2-2M$

です。それぞれの自己インダクタンスの合計値よりも大きくなるのは、( 和動接続 )です。

答え(5)

コメント