誘電体とコンデンサ

コンデンサーの静電容量は、誘電率をεとすると $C=\displaystyle\frac{ εS}{ d }$［F］ですので、電極間隔 $d$ と $3d$ の静電容量をそれぞれ $C_{ 0 }$、$C$とすれば、

$C_{ 0 }=\displaystyle\frac{ εS}{ d }$

$C=\displaystyle\frac{ εS}{ 3d }$

直流回路に蓄えられる電荷 $Q$ は等しいので、

$Q=CV=C_{ 0 }V_{ 0 }$

$V+V_{ 0 }=120$なので、

$C(120-V_{ 0 })=C_{ 0 }V_{ 0 }$

$\displaystyle\frac{ εS}{ 3d }(120-V_{ 0 })=\displaystyle\frac{ εS}{ d }V_{ 0 }$

$(120-V_{ 0 })=3V_{ 0 }$ $V_{ 0 }=30$

答え (2)

図１のコンデンサの静電容量は

$C_{ 1 }=\displaystyle\frac{ ε_{ 0 }ε_{ r }l^2}{ d }=\displaystyle\frac{ 3ε_{ 0 }l^2}{ d }$

図２のコンデンサの静電容量は誘電率$ε_{ 0 }$と$ε_{ 0 }ε_{ r }$のコンデンサーが半分ずつ挿入されているので、

$\begin{eqnarray}C_{ 2 }&=&\displaystyle\frac{ ε_{ 0 }×l×\frac{ l}{ 2 }}{ d }+\displaystyle\frac{ ε_{ 0 }ε_{ r }×l×\frac{ l}{ 2 }}{ d }\\\\&=&\displaystyle\frac{ ε_{ 0 }×l^2}{ 2d }+\displaystyle\frac{ 3ε_{ 0 }×l^2}{ 2d }\\\\&=&\displaystyle\frac{ 2ε_{ 0 }l^2}{ d }\end{eqnarray}$

よって

$C_{ 1 }:C_{ 2 }=\displaystyle\frac{ 3ε_{ 0 }l^2}{ d }:\displaystyle\frac{ 2ε_{ 0 }l^2}{ d }=3:2$

答え (3)

誘電体を挿入する前の静電容量を $C_{ 1 }$［F］とすると，

$C_{ 1 }=\displaystyle\frac{ ε_{ 0 }S}{ d }$

誘電体を挿入した後の静電容量を $C_{ 2 }$［F］とすると，

$\displaystyle\frac{ 1}{C_{ 2 }}=\displaystyle\frac{ 1}{ \displaystyle\frac{ ε_{ 0 }S}{\displaystyle \frac{ d}{ 2 } }}+\displaystyle\frac{ 1}{\displaystyle\frac{ ε_{ 0 }ε_{ r }S}{ \displaystyle\frac{ d}{ 2 } }}=\displaystyle\frac{ 3d}{4ε_{ 0 }S}$

よって

$C_{ 2 }=\displaystyle\frac{ 4ε_{ 0 }S}{ 3d }=\displaystyle\frac{ 4}{ 3 }C_{ 1 }$

答え (1)

(a) 空げきの静電容量を $C_1$［F］と誘電体中の静電容量 $C_2$［F］、電極の面積を $S$［ｍ²］とすると、

$C_1=\displaystyle\frac{ ε_0S}{ d_0-d_1}$

$C_2=\displaystyle\frac{ ε_0ε_rS}{ d_1}$

電界の強さ $E$［V/m］は、$E=\displaystyle\frac{ V}{ d}$ なので、$C_1$， $C_2$ のコンデンサに印加されている電圧をそれぞれ $V_1$，$V_2$［V］とすると、

$E_1=\displaystyle\frac{ V_1}{ d_0-d_1}=\displaystyle\frac{ \displaystyle\frac{ Q}{ C_1}}{ d_0-d_1}=\displaystyle\frac{ \displaystyle\frac{ Q}{ \displaystyle\frac{ ε_0S}{ d_0-d_1}}}{ d_0-d_1}=\displaystyle\frac{ Q}{ ε_0S}$

$E_2=\displaystyle\frac{ V_2}{d_1}＝\displaystyle\frac{ \displaystyle\frac{ Q}{ C_2}}{d_1}＝\displaystyle\frac{ \displaystyle\frac{ Q}{ \displaystyle\frac{ ε_0ε_rS}{ d_1}}}{d_1}=\displaystyle\frac{ Q}{ ε_0ε_rS}$

したがって、$\displaystyle\frac{ E_1}{ E_2}$ は、

$\displaystyle\frac{ E_1}{ E_2}=\displaystyle\frac{ \displaystyle\frac{ Q}{ ε_0S}}{ \displaystyle\frac{ Q}{ ε_0ε_rS}}=ε_r$

答え (1)

(b) 題意より

$\begin{eqnarray}V&=&E_1(d_0-d_1)+E_2d_1\\\\&=&E_1\left((d_0-d_1)+\displaystyle\frac{E_2}{E_1}d_1\right)\\\\&=&E_1\left((d_0-d_1)+\displaystyle\frac{d_1}{ε_r}\right)\\\\&=&7×10^{4}×\left((1.0×10^{-3}-0.2×10^{-3})+\displaystyle\frac{0.2×10^{-3}}{5.0}\right)\\\\&=&58.8［V］\end{eqnarray}$

答え (4)

空気中の静電容量を $C_1$［F］、固体誘電体中の静電容量を $C_2$［F］、電極の面積を $S$［ｍ²］とすると、

$C_{ 1 }=\displaystyle\frac{ ε_{ 0 }S}{ d }$

$C_{ 2 }=\displaystyle\frac{ ε_{ 0 }ε_{ r }S}{ d }=\displaystyle\frac{ 6ε_{ 0 }S}{ d }$

$Q=C_{ 1 }V_{ 1 }=C_{ 2 }V_{ 2 }$ より

$V_{ 1 }=6V_{ 2 }$

$C_{ 1 }$ のコンデンサの電圧は $C_{ 2 }$ の電圧の 6倍ですので，等電位線の密度も 6倍となります。

答え (3)

• 電界（電場）の強さ　E=V/d［V/m］
• 電束密度　D=εE［C/m²］
• 電荷　Q=CV［C］
• 静電容量　C=εS/d［F］

以上の公式を当てはめると(4)が正解になります。

答え (4)

(a) 電束密度を D、空気間の電界を $E_1$、固体誘電体間の電界を $E_2$ とすると、電場の関係式は、$D=εE$ ですので、

$E_1=\displaystyle\frac{ D}{ ε_{r1}ε_0 }=\displaystyle\frac{ D}{ ε_0 }$

$E_2=\displaystyle\frac{ D}{ ε_{r2}ε_0 }=\displaystyle\frac{ D}{ 4ε_0 }=\displaystyle\frac{ E_1}{ 4 }$

これを満たすグラフは(5)しかありません。

答え (5)

(b) 電界の強さ $E$ と電圧の関係 $V$ は、$ V=Ed$ です。３つのコンデンサが、直列に接続されたとみなし、各コンデンサの両端にかかる電圧をそれぞれ、$V_1$，$V_2$，$V_3$［V］とすると、印加された電圧は $ V=V_1+V_2+V_3$ となりますので、

$ \begin{eqnarray}V &=& V_1+V_2+V_3\\\\&=& E_1×4+E_2×4+E_1×2\\\\&=& 6E_1+4E_2\\\\&=& 6E_1+4×\displaystyle\frac{ E_1}{ 4 }\\\\&=& 7E_1\end{eqnarray}$

下部電極側の空気中の電界の強さが 2［kV/mm］に達したというのは、$E_1$が 2［kV/mm］に達したときですので、

$V=7E_1=7×2=14$［kV］

答え (2)

極板AおよびBに電荷密度 $σ$［C/m²］の電荷が蓄えられたとします。極板AB 間の電束密度は、$D=σ$［C/m²］ですので、ギャップ部分の電界を $E_0$［V/m］、固体誘電体部分の電界を $E_1$［V/m］とすると、

$E_0=\displaystyle\frac{ D}{ ε_0 }=\displaystyle\frac{ σ}{ ε_0 }$［V/m］

$E_1=\displaystyle\frac{ D}{ ε_1 }=\displaystyle\frac{ σ}{ ε_1 }$［V/m］

極板間の直流電圧を $V_0$［V］は、電位差として表すことができますので

$\begin{eqnarray}V_0&=&E_0×\displaystyle\frac{ d}{ 2 }+E_1×\displaystyle\frac{ d}{ 4 }+E_0×\displaystyle\frac{ d}{ 4 }\\\\&=&\displaystyle\frac{ 3}{ 4 }E_0d+\displaystyle\frac{ 1}{ 4 }E_1d\\\\&=&\displaystyle\frac{ 3}{ 4 }×\displaystyle\frac{ σ}{ ε_0 }×d+\displaystyle\frac{ 1}{ 4 }×\displaystyle\frac{ σ}{ ε_1 }×d\\\\&=&\displaystyle\frac{ σd}{ ε_0 }\left(\displaystyle\frac{ 3}{ 4 }+\displaystyle\frac{ ε_0}{ 4ε_1 }\right)［V］\end{eqnarray}$

$σ=\displaystyle\frac{ ε_0}{ \displaystyle\frac{ 3}{ 4 }+\displaystyle\frac{ ε_0}{ 4ε_1 }}\displaystyle\frac{ V_0}{ d }$［C/m²］

したがって、

$E_0=\displaystyle\frac{ σ}{ ε_0 }=\displaystyle\frac{ 1}{ \displaystyle\frac{ 3}{ 4 }+\displaystyle\frac{ ε_0}{ 4ε_1 }}\displaystyle\frac{ V_0}{ d }$［V/m］

$E_1=\displaystyle\frac{ σ}{ ε_1 }=\displaystyle\frac{ \displaystyle\frac{ ε_0}{ ε_1 }}{ \displaystyle\frac{ 3}{ 4 }+\displaystyle\frac{ ε_0}{ 4ε_1 }}\displaystyle\frac{ V_0}{ d }$［V/m］

固体誘電体を挿入する前の位置P、位置Qの電位を $V_{P0}$［V］、$V_{Q0}$［V］とすると、

$V_{P0}=\displaystyle\frac{ 3}{ 4}V_0$［V］

$V_{Q0}=\displaystyle\frac{ 1}{ 2}V_0$［V］

固体誘電体を挿入した後の位置Pの電位を $V_{P1}$［V］とすると、

$\begin{eqnarray}V_{P1}&=&V_0-E_0×\displaystyle\frac{ d}{ 4}\\\\&=&V_0-\displaystyle\frac{ 1}{  3+\displaystyle\frac{ ε_0}{ ε_1 }} V_0\\\\&=&\displaystyle\frac{ 2+\displaystyle\frac{ ε_0}{ ε_1 }}{ 3+\displaystyle\frac{ ε_0}{ ε_1 }} V_0［V］\end{eqnarray}$

$ε_1>ε_0 $なので、$V_{P1}>V_{P0}$ となりますので、(1)は正しい記述です。

固体誘電体を挿入した後の位置Qの電位を$V_{Q1}$［V］とすると、

$\begin{eqnarray}V_{Q1}&=&E_0×\displaystyle\frac{ d}{ 2}\\\\&=&\displaystyle\frac{ 1}{ \displaystyle\frac{ 3}{ 4 }+\displaystyle\frac{ ε_0}{ 4ε_1 }}\displaystyle\frac{ V_0}{ 2 }［V］\end{eqnarray}$

$ε_1>ε_0 $なので、$V_{Q1}>V_{Q0}$ となりますので、(2)は正しい記述です。

固体誘電体を挿入する前の静電容量を $C_0$［F］は、

$C_0=ε_0\displaystyle\frac{ S}{ d}$［F］

固体誘電体を挿入した後の静電容量を $C_1$［F］は、

$C_1=\displaystyle\frac{ σS}{ V_0}=\displaystyle\frac{ ε_0}{ \displaystyle\frac{ 3}{ 4 }+\displaystyle\frac{ ε_0}{ 4ε_1 }}\displaystyle\frac{ S}{ d}$［F］

$ε_1>ε_0 $なので、$C_1>C_2$ となりますので、(3)は正しい記述です。

固体誘電体を導体に変えた場合の位置Pの電位を $V_{P2}$［V］とすれば、$ε_1 $が∞になることなので、

$V_{P1}=\displaystyle\frac{ 2+\displaystyle\frac{ ε_0}{ ε_1 }}{ 3+\displaystyle\frac{ ε_0}{ ε_1 }} V_0$［V］

$V_{P2}=\displaystyle\frac{ 2}{ 3} V_0$［V］

$V_{P0}=\displaystyle\frac{ 3}{ 4}V_0$［V］なので、$V_{P2}<V_{P0}$ となりますので、(4)の記述は誤りです。

固体誘電体を導体に変えた場合の静電容量を $C_2$［C］とすれば、$ε_1 $が∞になることなので、

$C_1=\displaystyle\frac{ ε_0}{ \displaystyle\frac{ 3}{ 4 }+\displaystyle\frac{ ε_0}{ 4ε_1 }}\displaystyle\frac{ S}{ d}$［F］

$C_2=\displaystyle\frac{ ε_0}{ \displaystyle\frac{ 3}{ 4 }}\displaystyle\frac{ S}{ d}=\displaystyle\frac{ 4}{ 3 } ε_0\displaystyle\frac{ S}{ d}$［F］

$C_0=ε_0\displaystyle\frac{ S}{ d}$［F］なので、$C_2>C_0$ となりますので、(5)は正しい記述です。

答え (4)

AP間の静電容量を $C_{AP}$［F］、QB間の静電容量 $C_{QB}$［F］とすると。

$C_{AP}=\displaystyle\frac{ εrε_0S}{ \displaystyle\frac{ d}{ 2 } }=\displaystyle\frac{ 4ε_0S}{ d }$［F］

$C_{QB}=\displaystyle\frac{ εrε_0S}{ \displaystyle\frac{ d}{ 4 } }=\displaystyle\frac{ 8ε_0S}{ d }$［F］

コンデンサの電荷は $Q$［C］は、$ Q＝CV$ で表されます。$C_{AP}$ と、$C_{QB}$ に蓄えられる電荷量は等しくなりますので、

$ Q＝C_{AP}(V_0-V)=C_{QB}V$

$ \displaystyle\frac{ 4ε_0S}{ d }(V_0-V)=\displaystyle\frac{ 8ε_0S}{ d }V$

$ V=\displaystyle\frac{ V_0}{ 3 }$

答え (4)