基礎からの電験3種【理論-静電気(平行平板コンデンサー)】

電験3種の理論で出題される平行平板コンデンサーについて、初心者の方でも解りやすいように、基礎から解説しています。このe-ラーニング講座では平行平板コンデンサーについて理解を深め、さらに先にあるコンデンサーの計算が出来るようになるのが目的です。また、電験3種の試験で、実際に出題された過去問題も解説しています。

平行平板コンデンサー

平行平板コンデンサー

金属板AとBを平行に向い合わせ、電池を接続すると、電極Aには正の電荷が、Bには負の電荷が蓄えられます。このように電荷を溜めることができる装置をコンデンサーといいます。

また、電荷を蓄える導体を電極または極板といい、電極が平行なものを平行平板コンデンサーといいます。

ここで、電極AとBの面積を $S$[㎡]、電極の間隔を $d$[m]、電池の電圧を $V$[V]とし、電極間に $E$[V/m]の電界があるとします。

真空中の電荷 $ Q$[C]から出る電気力線の総数 $ N=\frac{ Q }{ ε_{ 0 } }$[本]と考えますので、 単位面積あたりの電気力線数は、[電気力線の総数]÷[電極の表面積]となり、ガウスの法則より

$E=\displaystyle \frac{ Q }{ ε_{ 0 } }×\frac{ 1 }{S }$[本]

となります。また、電圧と電界の関係式は

$V=Ed$[V]

でした。この2式より

$Q={ ε_{ 0 } }SE=\biggl(\displaystyle\frac{ ε_{ 0 } S}{ d }\biggl)V$[C]

この式からコンデンサーに蓄えられる電気量 $ Q$[C]は電極間の電圧 $V$[V]に比例することがわかります。この比例定数を静電容量といい $ C$(単位:ファラド[F])とおきます。

$C=\displaystyle\frac{ ε_{ 0 } S}{ d }$[F]
 
$Q=CV$

ただし、電極間は真空と考えています。

静電容量は電気量を蓄える能力を表し、電極の面積 $S$[㎡]に比例し、電極の間隔を $d$[m]に反比例します。

誘電率と比誘電率

誘電分極

静電容量が $ C$[F]のコンデンサーに電圧 $V$[V]の電池をつなぐと、極板ABには $Q=CV$[C]の電荷が蓄えられます。このAB間に「誘電体」をはさむと、誘電体の表面は「誘電分極」によって正電荷と負電荷が発生します。

このとき、電極AB間の電圧 $ V$と電界 $ E$は変化しませんので、誘電体の表面に発生した正電荷と負電荷を打ち消すために、電池から電荷が供給されます。

誘電体を電極間にはさむことにより、極板に蓄えることができる電荷量を $Q+q$[C]に増やすことができます。その結果、静電容量が増加するというわけです。

増加する割合は、間にはさむ誘電体の種類によって異なります。誘電分極をしやすい物質ほど電荷量を増やすことができます。この誘電分極のしやすさのことを「誘電率」といい、$ε$(イプシロン)で表します。

誘電分極をしやすい物質は $ε$の値が大きくなり、静電容量 $ C$の値も大きくなります。静電容量 $ C$が大きいほど、電荷を多く溜めることができます。

誘電率は誘電体の種類によって異なるのですが、通常は誘電率を数値として使いません。誘電の度合いを示す数値としては、真空の誘電率との比を使って表します。その比を「比誘電率」といい。$ε_{ r }$(イプシロンアール)で表します。

$ε_{ r }=\displaystyle\frac{ ε }{ ε_{ 0 } }$

$ε={ ε_{ r } }{ ε_{ 0 } }$

$C=\displaystyle\frac{ ε_{ r } ε_{ 0 } S}{ d }$[F]
 
$Q=CV$
 
通常はこの式を使います。

電験3種-理論(平行平板コンデンサー)過去問題

2010年(平成22年)問2

図に示すように、電極板面積と電極板間隔がそれぞれ同一の2種類の並行平板コンデンサがあり、一方を空気コンデンサA、他方を個体誘電体(比誘電率 $ε_{ r }=4$)が満たされたコンデンサBとする。両コンデンサにおいて、それぞれ一方の電極に直流電圧 $V$[V]を加え、他方の電極を接地したとき、コンデンサBの内部電界[V/m]及び電極板上に蓄えられた電荷[C]はコンデンサAのそれぞれ何倍となるか。その倍率として、正しいものを組み合わせたのは次のうちどれか。
ただし、空気の比誘電率を1とし、コンデンサの端効果は無視できるものとする。

2010年問2

2010年(平成22年)問2 過去問解説

両コンデンサの電極板面積と電極板間隔がそれぞれ同一で、両コンデンサに直流電圧$V$[V]を加えることから、$V=Ed$より、両コンデンサの内部電界 $E$[V/m]は同一の値になります。

A,Bのコンデンサの静電容量を $C_{ A} $、$C_{ B} $とすると、

$C_{ A}=\displaystyle\frac{ε_{ 0 } S}{ d }$
$C_{ B}=\displaystyle\frac{ ε_{ r } ε_{ 0 } S}{ d }=4×\frac{ε_{ 0 } S}{ d }=4C_{ A}$

答え(1)

2015年(平成27年)問1

平行平板コンデンサにおいて、極板間の距離、静電容量、電圧、電界をそれぞれ $d$ [m]、$C$ [F]、$V$ [V]、$E$ [V/m]、極板上の電荷を$Q$ [C] とするとき、誤っているものを次の(1)~(5)のうちから一つ選べ。
ただし、極板の面積及び極板間の誘電率は一定であり、コンデンサの端効果は無視できるものとする。

(1) $Q$を一定として $d$を大きくすると、$C$は減少する。
(2) $Q$を一定として $d$を大きくすると、$E$は上昇する。
(3) $Q$を一定として $d$を大きくすると、$V$は上昇する。
(4) $V$を一定として $d$を大きくすると、$E$は減少する。
(5) $V$を一定として $d$を大きくすると、$Q$は減少する。

2015年(平成27年)問1 過去問解説

電圧と電界の関係式

$V=Ed$[V] ・・・①

平行平板コンデンサの静電容量

$C=\displaystyle\frac{ ε_{ r } ε_{ 0 } S}{ d }$ ・・・②

電荷と電圧の関係式

$Q=CV$ ・・・③

 

(1)①、③式より 正しい

(2)①、③式より 誤り

(3)②、③式より 正しい

(4)①式より 正しい

(5)②、③式より 正しい

 

答え(2)

2016年(平成28年)問2

極板Aと極板Bとの間に一定の直流電圧を加え、極板Bを接地した平行板コンデンサに関する記述a~dとして、
正しいものの組合せを次の(1)~(5)のうちから一つ選べ。
ただし、コンデンサの端効果は無視できるものとする。

a 極板間の電位は、極板Aからの距離に対して反比例の関係で変化する。
b 極板間の電界の強さは、極板Aからの距離に対して一定である。
c 極板間の等電位線は、極板に対して平行である。
d 極板間の電気力線は、極板に対して垂直である。

(1) a
(2) b
(3) a、c、d
(4) b、c、d
(5) a、b、c、d

2016年(平成28年)問2 過去問解説

図で考えるとわかりやすいと思います。

2016年問2

a、極板A から距離x地点の電位 は、 V=E(d-x)〔V〕となり、 反比例とはなりません。

b、一様な電界の定義から 正しい

c、等電位線の定義から正しい

d、電気力線の定義から正しい

 

答え(4)

理論電験3種
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