基礎からの電験3種【理論-静電気(静電エネルギー)】

 

電験3種の理論で出題されるコンデンサーの静電エネルギーについて、初心者の方でも解りやすいように、基礎から解説しています。このe-ラーニング講座では静電エネルギーの計算ができるようになるのが目的です。また、電験3種の試験で、実際に出題された過去問題も解説しています。

静電エネルギー

コンデンサーが電気量を蓄えるには仕事が必要です。コンデンサーはその仕事 $W$(単位:ジュール[J])を静電エネルギーを電極間の電界に蓄えることができます。

コンデンサーの端子に電圧 $V$[V]を印加したとき、電荷 $Q$[C]を蓄えたときの静電エネルギー $W$[J]は

 $W=\displaystyle\frac{1}{2}CV^2$[J]

また、$Q=CV$の公式を使って

$W=\displaystyle\frac{1}{2}CV^2=\displaystyle\frac{1}{2}QV=\displaystyle\frac{1}{2}\frac{Q^2}{C}$[J]

と置きかえることができます。

電験3種-理論(静電気)過去問題

1998年(平成10年)問6

電圧 $V$[V]に充電された静電容量 $C$[F]のコンデンサと全く充電されていない静電容量 $\displaystyle\frac{1}{2}C$[F]のコンデンサとがある。これら二つのコンデンサを並列に接続したとき、これらのコンデンサに蓄えられる全静電エネルギー[J]の値として、正しいものは次のうちどれか。

(1) $\displaystyle\frac{1}{9}CV^2$  (2)$\displaystyle\frac{1}{6}CV^2$  (3)$\displaystyle\frac{2}{9}CV^2$  (4)$\displaystyle\frac{1}{3}CV^2$  (5)$\displaystyle\frac{3}{8}CV^2$

1998年(平成10年)問6 過去問解説

コンデンサの静電容量を、それぞれ $C_{ 1 }$、$C_{ 2 }$とし、$C_{ 1 }$が $V$[V]に充電されているとします。コンデンサを並列接続した後の、合成静電容量を $C’$、充電電圧を $V’$[V]とすると、並列接続前後では、電荷量 $Q$は変化しませんので、

$Q=C_{ 1 }V=C’V’=(C_{ 1 }+C_{ 2 })V’$
$V’=\displaystyle\frac{C_{ 1 }}{C_{ 1 }+C_{ 2 }}V$・・・①

全静電エネルギー $W$は

$W=\displaystyle\frac{1}{2}C’V’^2=\displaystyle\frac{1}{2}(C_{ 1 }+C_{ 2 })V’^2$・・・②

題意より $C_{ 1 }=C$、$C_{ 2 }=\displaystyle\frac{1}{2}C$ および ①式を ②式に代入すると

$\begin{eqnarray}W&=&\displaystyle\frac{(C_{ 1 }+C_{ 2 })}{2}×\biggl(\frac{C_{ 1 }V}{C_{ 1 }+C_{ 2 }}\biggl)^2\\&=&\displaystyle\frac{ 1 }{ 3 }CV^2\end{eqnarray}$

答え(4)

2000年(平成12年)問3

静電容量 2[mF]のコンデンサを充電し、その電荷をある抵抗を通してすべて放電させたところ、抵抗で消費されたエネルギーは 10[J]であった。放電を開始する直前、コンデンサに蓄えられていた電荷[mC]の値として正しいのは次のうちどれか。

(1)100  (2)124 (3)141 (4)173 (5)200

2000年(平成12年)問3 過去問解説

コンデンサーの端子に電圧 $V$[V]を印加したとき、電荷 $Q$[C]を蓄えたときの静電エネルギー $W$[J]は

$W=\displaystyle\frac{1}{2}CV^2=\displaystyle\frac{1}{2}QV=\displaystyle\frac{1}{2}\frac{Q^2}{C}$[J]

上式を変形すると

$\begin{eqnarray}Q&=&\sqrt{ 2 CW}\\&=&\sqrt{ 2×2×10^{-3}×10}\\&=&200[MC]\end{eqnarray}$

答え(5)

2007年(平成19年)問4

静電容量が $C$[F]と $2C$[F]の二つのコンデンサを図1、図2のように直列、並列に接続し、それぞれ $V_{ 1 }$[V]、$V_{ 2 }$[V]の直流電圧を加えたところ、両図の回路に蓄えられている総静電エネルギーが等しくなった。この場合、図1の $C$[F]のコンデンサの端子間の電圧を $V_{ C }$[V]としたとき、電圧比 $\displaystyle\left|\frac{V_{ C }}{V_{ 2 }}\right|$の値として、正しいのは次のうちどれか。

2007年問4

2007年(平成19年)問4 過去問解説

図1のように直列接続の場合、コンデンサに蓄えられる電荷 $Q$[C]は等しいので、

$Q=CV_{ C }=2C(V_{ 1 }-V_{ C })$

$\displaystyle\frac{1}{2}V_{ C }=(V_{ 1 }-V_{ C })$

図1の静電エネルギー $W_{ 1 }$は

$\begin{eqnarray}W_{ 1 }&=&\displaystyle\frac{1}{2}CV_{ C }^2+\frac{1}{2}×2C×(V_{ 1 }-V_{ C })^2\\&=&\displaystyle\frac{1}{2}CV_{ C }^2+\displaystyle\frac{1}{4}CV_{ C }^2\\&=&\displaystyle\frac{3}{4}CV_{ C }^2\end{eqnarray}$

図2の静電エネルギー $W_{ 2 }$は

$\begin{eqnarray}W_{ 2 }&=&\displaystyle\frac{1}{2}CV_{ 2 }^2+\frac{1}{2}×2CV_{ 2 }^2\\&=&\displaystyle\frac{6}{4}CV_{ 2 }^2\end{eqnarray}$

$W_{ 1 }=W_{ 2 }$なので

$\displaystyle\frac{3}{4}CV_{ C }^2=\displaystyle\frac{6}{4}CV_{ 2 }^2$

よって

$\displaystyle\left|\frac{V_{ C }}{V_{ 2 }}\right|=\sqrt{ 2}$

 

答え(4)

2008年(平成20年)問2

次の文章は、平行板コンデンサに蓄えられるエネルギーについて述べたものである。
極板間に誘電率 $ε$[F/m]の誘電体をはさんだ平行板コンデンサがある。このコンデンサに電圧を加えたとき、蓄えられるエネルギー $W$[J]を誘電率 $ε$[F/m]、電極間の誘電体の体積 $V$[㎥]、極板間の電界の大きさ $E$[V/m]で表現すると、$W$[J]は、誘電率 $ε$[F/m]の (ア) に比例し、体積 $V$[㎥]に (イ) し、電界の大きさ $E$[V/m]の (ウ) に比例する。
ただし、極板の端効果は無視する。

上記の記述中の空白箇所(ア)、(イ)及び(ウ)に当てはまる語句として、正しいものを組み合わせたのは次のうちどれか。

2008年問2

2008年(平成20年)問2 過去問解説

電圧と電界の関係式は

$V=Ed$[V]

ガウスの法則より

$E=\displaystyle\frac{ Q}{ εS }$[V/m]

$Q=εSE$

静電エネルギー $W$[J]は

$W=\displaystyle\frac{1}{2}CV^2=\displaystyle\frac{1}{2}QV=\displaystyle\frac{1}{2}εE^2Sd$[J]

答え(4)

2009年(平成21年)問5

図に示す5種類の回路は、直流電圧 $E$[V]の電源と静電容量 $C$[F]のコンデンサの個数と組み合わせを異にしたものである。これらの回路のうちで、コンデンサ全体に蓄えられている電界のエネルギーが最も小さい回路を示す図として、正しいのは次のうちどれか。

2009年問5

2009年(平成21年)問5 過去問解説

(1) $W=\displaystyle\frac{1}{2}CE^2$
(2) $W=\displaystyle\frac{1}{2}×\frac{C}{2}×(2E)^2=CE^2$
(3) $W=\displaystyle\frac{1}{2}×2C×(2E)^2=4CE^2$
(4) $W=\displaystyle\frac{1}{2}×\frac{C}{2}×E^2=\frac{CE^2}{4}$
(5) $W=\displaystyle\frac{1}{2}×2C×E^2=CE^2$

答え(4)

理論電験3種
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