クーロンの法則：静電気

第三種電気主任技術者（電験三種）試験に独学で合格できるよう、分野ごとに「考え方」や「解き方」の解説と過去問題をまとめています。このページで、電験三種の理論科目に出題される「静電気分野－クーロンの法則」について、初心者の方でも解りやすく、基礎から勉強できます。また、電験三種の理論科目の試験で、実際に出題された「クーロンの法則」の過去問題も解説しています。

電気を帯びた物質の間に働く力
クーロンの法則
二つ以上の電荷の間の静電気力
電験三種－理論の過去問解説：「静電気分野－クーロンの法則」

電気を帯びた物質の間に働く力

静電気は二つの物質を摩擦することなどによって発生します。静電気などによって物質に電気を帯びることを帯電といいます。また、物質が帯びている電気の量を電荷といいます。尚、大きさを考えない点状の電荷のことを点電荷といいます。

電荷はすべての電気的な現象の元となるものです。電荷には正(プラス)と負(マイナス)の2種類があり、単位はクーロン［C］です。1クーロン［C］は 1アンペア［A］の電流が 1秒間に運ぶ電荷の量です。

帯電(電気を帯びた)した物質間には、力が働きます。この力は引力になるときと、反発力になるときがあります。引力は物質が互いに引っぱりあう力、反発力は物質が互いに離れようとする力です。

この帯電した物質間に働く力が、引力になるのか、反発力になるのかを決める元になるのが、電荷が持っている電気の符号です。電荷の符号が同符号の場合は反発力、異符号の場合は引力が働きます。このように電荷の間にはたらく力のことを静電気力といいます。

静電気力の大きさは2つの電荷の持つ電気量が大きいほど、また電荷間が近いほど大きくなります。

二つの電荷の符号が同じとき、静電気力は反発力となります。

二つの電荷の符号が異なるとき、静電気力は引力となります。

物質が電気を帯びることを帯電といい、帯びている電気の量を電荷といいます。
電荷が持つ電気の量の単位はクーロン［C］です。
静電気力は同種の電荷の場合は反発力、異種の電荷の場合は引力が働きます。
2つの電荷の持つ電気量が大きいほど、静電気力は大きくなります。
2つの電荷の距離が近いほど、静電気力は大きくなります。

クーロンの法則

帯電した二つの物質間に働く力の大きさは、それぞれが持つ電荷の積に比例し、距離の 2乗に反比例します。これをクーロンの法則といいます。

公式

二つの電荷の量をそれぞれ $ Q_{ 1 }，Q_{ 2 }$［C］、電荷間の距離を $r$［m］とすると、二つ電荷間に働く力の大きさ $ F$［N］は、

$ F=\displaystyle \frac{ 1 }{ 4πε_{ o } }\frac{ Q_{ 1 }Q_{ 2 } }{ r^2}$［N］

$F$［N］：二つの電荷間に働く力の大きさ（単位はニュートン）
$ ε_{ o }$［F/m］：真空の誘電率(単位はファラド毎メートル)
$Q_{ 1 }，Q_{ 2 }$［C］：電荷（単位はクーロン）
$r$［m］：電荷 $Q_{ 1 }，Q_{ 2 }$ の距離

$ ε_{ o }$(イプシロンゼロ)は真空の誘電率と呼ばれる定数です。誘電率とは、電荷の貯め易さを表わす物理定数です。誘電率が高い物質ほど、電荷を貯め易いといえます。

真空の誘電率は $ ε_{ o }=8.85×10^{-12}$［F/m］です。空気中でもほぼ同じ値です。計算式で使う場合は、

$ ε_{ o } =\displaystyle \frac{ 1 }{ 4π×9.0×10^9}$［F/m］

を使うと便利です。

二つ以上の電荷の間の静電気力

図のように電荷 $q$［C］が二つの電荷 $Q_{ 1 }$［C］，$ Q_{ 2 }$［C］から受ける静電気力 $F$［N］の大きさを考えます。ただし、$q$，$Q_{ 1 }$，$Q_{ 2 }$はいずれも正電荷とします。

静電気力は、力学で学ぶ力と同様にベクトルで考えます。したがって、ベクトルの和が合力となります。$q$ が $ Q_{ 1 }$ から受ける静電気力を $ F_{ 1 }$［N］、$ q$ が $ Q_{ 2 }$ から受ける静電気力を $ F_{ 2 }$［N］とすると、静電気力の合力 $F$［N］は、ベクトルの合成より平行四辺形の対角線となります。

電験三種－理論の過去問解説：「静電気分野－クーロンの法則」

(財)電気技術者試験センターが作成した、第三種電気主任技術者試験の理論科目で出題された問題です。

2002年（平成14年）問2【電験理論の過去問題】

図のように、真空中の 3［m］離れた2点A，Bにそれぞれ 3×10$^{ -7}$［C］の正の点電荷がある。A点とB点とを結ぶ直線上のA点から 1［m］離れたP点に Q［C］の正の点電荷を置いたとき、その点電荷にB点の方向に 9×10$^{-3}$［N］の力が働いた。この点電荷 Q［C］の値として、最も近いのは次のうちどれか。
ただし、真空中の誘電率を $ ε_{ o } =\displaystyle \frac{ 1 }{ 4π×9.0×10^9}$［F/m］とする。

(1) 1.2×10$^{-9}$　(2) 1.8×10$^{-8}$　(3) 2.7×10$^{-7}$　(4) 4.4×10$^{-6}$　(5) 7.3×10$^{-5}$

過去問解説　2002年（平成14年）問2【電験三種－理論】

AP間に働く力を $ F_{ AP }$［N］とすると、クーロンの法則より

$ \begin{eqnarray}F_{ AP }&=&\displaystyle \frac{ 1 }{ 4πε_{ o } }\frac{ Q_{ A }Q_{ P } }{ r_{AP}^2}\\\\&=&9.0×10^9×\displaystyle \frac{ 3×10^{-7}×Q}{ 1^2}\\\\&=&27.0Q×10^2［N］\end{eqnarray}$

BP間に働く力を $ F_{ BP }$［N］とすると、クーロンの法則より

$ \begin{eqnarray}F_{ BP }&=&\displaystyle \frac{ 1 }{ 4πε_{ o } }\frac{ Q_{ B }Q_{ P } }{ r_{BP}^2}\\\\&=&9.0×10^9×\displaystyle \frac{ 3×10^{-7}×Q}{ 2^2}\\\\&=&6.75Q×10^2［N］\end{eqnarray}$

P点に働く力は $F$［N］は、$ F=F_{ AP }-F_{ BP }=9×10^{-3}$［N］なので

$ \begin{eqnarray}F&=&F_{ AP }-F_{ BP }\\\\&=&27.0Q×10^2-6.75Q×10^2\\\\&=&20.25Q×10^2=9×10^{-3}［N］\end{eqnarray}$

$ Q=4.44×10^{-6}$［C］

答え (4)

2003年（平成15年）問15【電験理論の過去問題】

真空中において、それぞれ質量 m［kg］、電荷 +Q［C］の小さな球の帯電体A及びBがある。これらの帯電体をそれぞれ長さ r［m］の糸で点Pからつるしたところ、図のように、帯電体A，Bの間隔が a［m］となって静止した。次の(a)及び(b)に答よ。
ただし、真空の誘電率 $ε_0$［F/m］、重力加速度 g［m/s²］とする。また、帯電体A及びBの直径は r［m］に比べて十分小さく、糸の質量は無視できるものとする。

(a) 帯電体A，B間に働く力 F［N］の大きさとして、正しいものは次のうちどれか。

(1) $\displaystyle \frac{Q}{4πε_oa}$　(2) $\displaystyle \frac{Q}{ 4πε_oa^2}$　(3) $\displaystyle \frac{Q^2}{ 2πε_oa}$　(4) $\displaystyle \frac{ Q^2 }{ 2πε_oa^2}$　(5) $\displaystyle \frac{ Q^2 }{ 4πε_oa^2}$

(b) 帯電体A、B間の静止状態において、糸の鉛直直線に対する傾きが θ[°]であったときに成立する式として、正しいのは次のうちどれか。

(1) $Q^2=16πε_{ o } mgr^2 sin^2θtanθ$
(2) $Q^2=\displaystyle\frac{16πε_{ o } mgr^2 sin^2θ}{tanθ}$
(3) $Q^2=\displaystyle\frac{16πε_{ o } mgr^2 cos^3θ}{sinθ}$
(4) $Q^2=8πε_{ o } mgr^2 sin^2θtanθ$
(5) $Q^2=8πε_{ o } mgr^2 sinθcosθ$

過去問解説　2003年（平成15年）問15【電験三種－理論】

(a) AB間に働く力を F［N］は、クーロンの法則より、

$ F=\displaystyle \frac{ 1 }{ 4πε_{ o } }\frac{ Q_{ A }Q_{ B } }{ r_{AB}^2}=\displaystyle \frac{ Q^2 }{ 4πε_{ o } a^2}$

答え (5)

(b) 静止状態に働く力を図示します。

力の関係は、

$ T=\displaystyle \frac{ mg }{ cosθ }=\displaystyle\frac{ F}{sinθ}$

(a)の解を代入すると、

$\displaystyle \frac{ mg }{ cosθ }=\displaystyle\frac{ \displaystyle \frac{ Q^2 }{ 4πε_{ o } a^2}}{sinθ}$

$Q^2=\displaystyle \frac{ 4πε_{ o } a^2mg sinθ}{ cosθ }$

三角関数より、$sinθ=\displaystyle \frac{\displaystyle \frac{a}{ 2 } }{ r }$ なので、

$\begin{eqnarray}Q^2&=&\displaystyle \frac{ 4πε_{ o } (2rsinθ)^2mg sinθ}{ cosθ }\\\\&=&16πε_{ o } mgr^2 sin^2θtanθ\end{eqnarray}$

答え (1)

2005年（平成17年）問1【電験理論の過去問題】

真空中において、図に示すように一辺の長さが 30［cm］の正三角形の各頂点に 2×10$^{-8}$［C］の正の点電荷がある。この場合、各点電荷に働く力の大きさ F［N］の値として、最も近いのは次のうちどれか。
ただし、真空中の誘電率を $ ε_{ o } =\displaystyle \frac{ 1 }{ 4π×9.0×10^9}$［F/m］とする。

(1) 6.92×10$^{-5}$　(2) 4.00×10$^{-5}$　(3) 3.46×10$^{-5}$　(4) 2.08×10$^{-5}$　(5) 1.20×10$^{-5}$　

過去問解説　2005年（平成17年）問1【電験三種－理論】

点電荷A，B，Cに働く力は同じですので、点電荷Aに働く力について考えます。点電荷AC間に働く力を $ F_{ CA } $［N］、点電荷AB間に働く力 $F_{ BA } $［N］とすると、$ F_{CA} =F_{BA}$［N］が成り立ちます。

ここで $ F_{ CA }$［N］と $F_{ BA }$［N］がつくる合成力 $F$［N］は

$ F=F_{ CA } ×cos30°×2$［N］

クーロンの法則より

$ \begin{eqnarray}F_{ CA } &=&\displaystyle \frac{ 1 }{ 4πε_{ o } }\frac{ Q_{ C }Q_{ A } }{ r_{ CA }^2}\\&=& 9.0×10^9×\displaystyle\frac{ (2×10^{ -8})^2 }{ (0.3)^2}\\&=&4×10^{ -5}\end{eqnarray}$

したがって、

$ \begin{eqnarray}F&=&4×10^{ -5} ×cos30°×2\\&=&4×10^{ -5} ×\frac{ \sqrt{ 3 } }{ 2 }×2\\&=&6.92×10^{ -5}［N］\end{eqnarray}$

答え (1)

2013年（平成25年）問2【電験理論の過去問題】

図のように真空中の直線上に間隔 $r$［m］を隔てて、点 A，B，Cがあり、各点に電気量 $ Q_A=4×10^{ -6}$［C］，$Q_B$［C］，$Q_C$［C］の点電荷を置いた。これら三つの点電荷に働く力がそれぞれ零になった。このとき、$Q_B$［C］及び $Q_C$［C］の値の組み合わせとして、正しいものを次の(1)～(5)のうちから一つ選べ。
ただし、真空中の誘電率を $ ε_{ o } =\displaystyle \frac{ 1 }{ 4π×9.0×10^9}$［F/m］とする。