直列回路の共振【電験3種-理論】

直列回路の共振 理論

電験3種の理論で出題される単相交流の直列共振回路について、初心者の方でも解りやすいように、基礎から解説しています。また、電験3種の試験で、実際に出題された過去問題も解説しています。

$RLC$ 直列回路の共振

図のように抵抗 $R$、コイル $L$ 、コンデンサ $C$ を直列接続したときの合成インピーダンス $\dot{Z}$ とその大きさ $Z$ は、次のように表すことができます。

$Z=R+jωL+\displaystyle \frac{ 1 }{ jωC }=R+j\left(ωL-\displaystyle \frac{ 1 }{ ωC }\right)$

$Z=\displaystyle\sqrt{R^2+\left(ωL-\displaystyle \frac{ 1 }{ ωC }\right)^2}$

各周波数が、

$ω_0=\displaystyle \frac{ 1 }{ \sqrt{LC} }$

の条件を満たすとき、

$ω_0L=\displaystyle \frac{ 1 }{ ω_0C }$

となります。このとき、インピーダンスの大きさ $Z$ は、最小値 $Z_{min}$ になります。

$Z_{min}=R$

回路に流れる電流の大きさ $I$ は、

$I=\displaystyle\frac{V}{\sqrt{R^2+\left(ωL-\displaystyle \frac{ 1 }{ ωC }\right)^2}}$

で、表すことができますので、各周波数 $ω_0$ のとき、回路に流れる電流は最大値 $I_{max}$ になります。

$I_{max}=\displaystyle\frac{V}{Z_{min}}=\displaystyle\frac{V}{R}$

このように、直列回路で電流が最大値になる現象を共振といいます。また、共振が起こる角周波数 $ω_0$ を共振角周波数といいます。共振が起きたときの、フェーザ図を次に示します。

共振が起きたときの各素子の端子間電圧の大きさは、

$V_R=V$
$V_L=\displaystyle\frac{ω_0L}{R}V$
$V_C=\displaystyle\frac{1}{ω_0C}V$

になります。$V_L$ と $V_C$ は、大きさが等しくまた、逆相となりますので、互いに打ち消しあいます。したがって、電源電圧 $V$ と抵抗両端の電圧 $V_R$ は同じになります。また、電源電圧 $V$ と抵抗両端の電圧 $V_R$ 、電流 $I$ は同相になります。

電験3種-理論(交流回路)過去問題

1997年(平成9年)問8

図のような交流回路において、電源の周波数を変化させたところ、共振時のインダクタンス $L$ の端子電圧 $V_L$ が $314V$ であった。共振周波数(kHz)の値として、正しいのはどれか。

(1)2.0 (2)2.5 (3)3.0 (4)3.5 (5)4.0

1997年(平成9年)問8 過去問解説

共振が起きたときのインダクタンス $L$ の端子電圧 $V_L$ は、

$V_L=\displaystyle\frac{ω_0L}{R}V=\displaystyle\frac{2πf_0L}{R}V$

$314=\displaystyle\frac{2×3.14×f_0×10×10^{-3}}{0.5}×1$

$f_0=\displaystyle\frac{0.5×314}{2×3.14×10×10^{-3}}=2.5$[kHz]

答え(2)

2004年(平成16年)問6

図のように、$R$[Ω]の抵抗、インダクタンス $L$[H]のコイル、静電容量 $C$[F]のコンデンサを直列に接続した交流回路がある。この回路において、電源 $E$ は周波数を変化できるものとする。電源周波数を変化させたところ、2種類の異なる周波数 $f_1$[Hz]と $f_2$[Hz]に対して、この回路の電源からみたインピーダンス[Ω]の大きさは変わらなかった。このときの $f_1×f_2$ の値として、正しいのは次のうちどれか。

2004年(平成16年)問6 過去問解説

周波数 $f_1$[Hz]のときの合成インピーダンスを $\dot{Z_1}$、 $f_2$[Hz]のときの合成インピーダンスを $\dot{Z_2}$ とすると、周波数の大きさにより、合成インピーダンス $Z_1$,$Z_2$ 一方が誘導性の負荷になると、他方は容量性の負荷になります。周波数 $f_1$[Hz]のときを誘導性負荷、周波数 $f_2$[Hz]のときを容量性負荷と考えると、

$Z_1=\displaystyle\sqrt{R^2+\left(ω_1L-\displaystyle \frac{ 1 }{ ω_1C }\right)^2}$

$Z_2=\displaystyle\sqrt{R^2+\left(\displaystyle \frac{ 1 }{ ω_2C }-ω_2L\right)^2}$

題意より、$Z_1=Z_2$ なので、

$\displaystyle\sqrt{R^2+\left(ω_1L-\displaystyle \frac{ 1 }{ ω_1C }\right)^2}=\displaystyle\sqrt{R^2+\left(\displaystyle \frac{ 1 }{ ω_2C }-ω_2L\right)^2}$

$\left(ω_1L-\displaystyle \frac{ 1 }{ ω_1C }\right)^2=\left(\displaystyle \frac{ 1 }{ ω_2C }-ω_2L\right)^2$

$L(ω_1+ω_2)=\displaystyle \frac{ 1 }{ C }\left(\displaystyle \frac{ 1 }{ ω_1 }+\displaystyle \frac{ 1 }{ ω_2 }\right)$

$L(ω_1+ω_2)=\displaystyle \frac{ 1 }{ C }\left(\displaystyle \frac{ ω_1 + ω_2 }{ ω_1 ω_2 }\right)$

$ω_1 ω_2=\displaystyle \frac{ 1 }{ LC }$

したがって $f_1×f_2$ の値は、

$f_1 f_2=\displaystyle \frac{ 1 }{ 4π^2LC }$

答え(3)

2005年(平成17年)問8

図のように、静電容量 $C_X$[F]及び $C$[F]のコンデンサとインダクタンス $L$[H]のコイルを直列に接続した交流回路がある。この回路において、スイッチSを開いたときの共振周波数は $f_1$[Hz]、閉じたときの共振周波数は $f_2$[Hz]である。$f_1$[Hz]が $f_2$[Hz]の2倍であるとき、静電容量の比 $\displaystyle \frac{C}{C_X}$ の値として、正しいのは次のうちどれか。

(1)$\displaystyle \frac{1}{3}$ (2)$\displaystyle \frac{1}{2}$ (3)1 (4)2 (5)3

2005年(平成17年)問8 過去問解説

スイッチSを開いたときの合成静電容量を $C_1$[F]、閉じたときの合成静電容量を $C_2$[F]とすると、

$C_1=\displaystyle \frac{C_XC}{C_X+C}$

$C_2=C$

したがって共振周波数 $f_1$[Hz]、 $f_2$[Hz]は、

$f_1=\displaystyle \frac{1}{2π\sqrt{L×\displaystyle \frac{C_XC}{C_X+C}}}$

$f_2=\displaystyle \frac{1}{2π\sqrt{LC}}$

$f_1=2f_2$[Hz]なので、

$\displaystyle \frac{1}{2π\sqrt{L×\displaystyle \frac{C_XC}{C_X+C}}}=\displaystyle \frac{2}{2π\sqrt{LC}}$

$2\sqrt{L×\displaystyle \frac{C_XC}{C_X+C}}=\sqrt{LC}$

$\displaystyle \frac{4C_XC}{C_X+C}=C$

$3C_X=C$

$\displaystyle \frac{C}{C_X}=3$

答え(5)

2006年(平成18年)問7

図のように、$R=200$[Ω]の抵抗、インダクタンス $L=2$[mH]のコイル、静電容量 $C=0.8$[μF]のコンデンサを直列に接続した交流回路がある。この回路において、電源電圧 $\dot{E}$[V]と電流 $\dot{I}$[A]とが同相であるとき、この電源電圧の角周波数 $ω$[rad/s]の値として、正しいのは次のうちどれか。

(1)$1.0×10^3$ (2)$3.0×10^3$ (3)$2.0×10^4$ (4)$2.5×10^4$ (5)$3.5×10^4$

2006年(平成18年)問7 過去問解説

電源電圧 $\dot{E}$[V]と電流 $\dot{I}$[A]とが同相ということは、コイル $L$ と、コンデンサ $C$ が直列共振しています。共振角周波数を $ω_0$ とすると、

$ω_0L=\displaystyle \frac{ 1 }{ ω_0C }$

${ω_0}^2=\displaystyle \frac{ 1 }{ LC }=\displaystyle \frac{ 1 }{ 2×10{-3}×0.8×10{-6} }=\displaystyle \frac{ 1 }{ 16×10{-10} }$

$ω_0=\displaystyle \frac{ 1 }{ \sqrt{16×10{-10} }}=2.5×10^4$[rad/s]

答え(4)

2011年(平成23年)問16

図のように,電圧 $100$[V]に充電された静電容量 $C=300$[μF]のコンデンサ、インダクタンス $L=30$[mH]のコイル、開いた状態のスイッチSからなる回路がある。時刻 $t=0$[s]でスイッチSを閉じてコンデンサに充電された電荷を放電すると、回路には振動電流 $i$[A](図の矢印の向きを正とする)が流れる。このとき,次の(a)及び(b)の問に答えよ。
ただし,回路の抵抗は無視できるものとする。

(a)振動電流 $i$[A]を示す図として、正しいものを次の(1)~(5)のうちから一つ選べ。

(b)振動電流の最大値[A]及び周期[ms]の値の組合せとして,最も近いものを次の(1)~(5)のうちから一つ選べ。

2011年(平成23年)問16 過去問解説

(a)スイッチSを閉じた瞬間はコイルに電流は流れません。つまり、振動電流の初期値は 0[A]です。

$i$ は矢印の向きの正方向(+方向)に流れはじめます。

したがって、(1)の図が正解になります。

(b)コンデンサに蓄えられたエネルギーを $W_C$[J]、コイルに蓄えられたエネルギーを $W_L$[J]とすると、 $W_C=W_L$ の関係になるので、

$W_C=\displaystyle \frac{1}{2}CV^2=\displaystyle \frac{1}{2}×300×10^{-6}×100^2=1.5$[J]

$W_L=\displaystyle \frac{1}{2}LI^2=\displaystyle \frac{1}{2}×30×10^{-3}×I^2=15×10^{-3}×I^2$[J]

$15×10^{-3}×I^2=1.5$

$I=10$[A]

共振周波数を $f_0$[Hz]とすると、

$f_0=\displaystyle \frac{1}{2π\sqrt{LC}}$

$f_0=\displaystyle \frac{1}{2π\sqrt{0×10^{-3}×300×10^{-6}}}≒53.05$[Hz]

周期 $T$[s]は、

$T=\displaystyle \frac{1}{f_0}=\displaystyle \frac{1}{53.05}≒18.9$[ms]

答え(a)-(1)、(b)-(4)

2013年(平成25年)問10

図は、インダクタンス $L$[H]のコイルと静電容量 $C$[F]のコンデンサ並びに $R$[Ω]の抵抗の直列回路に、周波数が $f$[Hz]で実効値が $V$(≠0)[V]である電源電圧を与えた回路を示している。この回路において、抵抗の端子間電圧の実効値 $V_R$[V]が零となる周波数 $f$[Hz]の条件を全て列挙したものとして、正しいものを次の(1)~(5)のうちから一つ選べ。

2013年(平成25年)問10 過去問解説

抵抗の端子間電圧の実効値 $V_R=0$[V]ということは、回路に流れる電流は最大値 $I_{max}$ になります。つまり、直列共振が起きています。

誘導性リアクタンスを $X_L$、コイルに流れる電流を $I_L$、コイル両端の電圧を $V_L$ とすると、

$I_L=\displaystyle \frac{ V_L }{ X_L }=\displaystyle \frac{ V_L }{ 2πfL }$

$I_L=0$ になるためには、$f=∞$ になります。

容量性リアクタンスを $X_C$、コンデンサに流れる電流を $I_C$、コイル両端の電圧を $V_C$ とすると、

$I_C=\displaystyle \frac{ V_C }{ X_C }=2πfCV_C$

$I_C=0$ になるためには、$f=0$ になります。

答え(4)

2014年(平成26年)問9

図のように、二つのLC直列共振回路A、Bがあり、それぞれの共振周波数が $f_A$[Hz]、$f_B$[Hz]である。これらA、Bをさらに直列に接続した場合、全体としての共振周波数が $f_{AB}$[Hz]になった。$f_A$、$f_B$、$f_{AB}$ の大小関係として、正しいものを次の(1)~(5)のうちから一つ選べ。

2014年(平成26年)問9 過去問解説

共振周波数は、$f_0=\displaystyle \frac{ 1}{ 2π\sqrt{LC} }$ なので、回路A,回路B,回路C の共振周波数は、

$f_A=\displaystyle \frac{ 1}{ 2π\sqrt{LC} }$

$f_B=\displaystyle \frac{ 1}{ 2π\sqrt{2LC} }=\displaystyle \frac{ 1}{ 2π\sqrt{LC} }×\displaystyle \frac{1}{\sqrt{2}} $

$f_{AB}=\displaystyle \frac{ 1}{ 2π\sqrt{3L×\frac{C}{2}} }=\displaystyle \frac{ 1}{ 2π\sqrt{LC} }×\displaystyle \frac{1}{\sqrt{1.5}} $

したがって、$f_B<f_{AB}<f_{A}$ になります。

答え(5)

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