直流回路の基本【電験3種-理論】

理論

電験3種の理論で出題される直流回路の基本問題について、初心者の方でも解りやすいように、基礎から解説しています。また、電験3種の試験で、実際に出題された過去問題も解説しています。

電流と電圧

電流の大きさ

導体に流れる電流は、電荷を持つ自由電子の移動によるものです。導体の原子から飛び出した自由電子が静電気力を受けて一斉に同じ方向に動き出すと電流になります。

電流の流れ

電流の向きは自由電子の移動方向と逆方向と定義されています。自由電子は負電荷です。自由電子が動くときは、正電荷が逆方向に動きます。つまり、電流の向きは正電荷が動く方向です。

電流の大きさは、単位時間に通過する電荷の流量です。「1秒間に 1C の電荷が流れるときの電流の大きさを 1 (単位:アンペア[A] )」と決められています。

$t$[s]の間に $q$ [C] の電荷が流れるときの電流の大きさ $I$ [A]は、次の式で表されます。

$I=\displaystyle \frac{ q }{ t }$[A]

電圧の大きさ

電気には位置に関係する電位(単位:ボルト[V])という考え方があります。電位は1Cの正電荷が持つ電気的な位置エネルギーです。

電圧のイメージ

2点間の電位の差を電位差 $V$(単位:ボルト[V])といいます。電位差のことを「電圧」ともいいます。ある点の電圧の大きさを表すときは、基準点 0[V]からの大きさとして表します。実用上、電位の基準点は大地としています。

電気は水によく例えられます。水と同じように、電流は位置(電位)の高い方から低い方へと流れます。また、同じ位置(同電位)の場合は電流は流れないと考えておいてください(特殊な条件下では例外もあります)。

短絡と開放

短絡と開放
2点間の導線を直接結ぶことを短絡(ショート)といいます。電位差のない状態です。2点間になにも接続しないことを開放(オープン)といいます。自由電子の移動ができない状態です。短絡した2点間の電圧は 0V になり、開放した2点間を流れる電流は 0A になります。

ここで注意が必要なのが、短絡した2点間の電流は 0A になるとは限りません。また開放した2点間の電圧は 0V になるとは限りません。


短絡と開放

分流と分圧

電流iが流れている導線がaとbに枝分かれしている場合、枝分かれしたそれぞれの導線を流れる電流を$i_a$、$i_b$とすれば、


分流

$i=i_a+i_b$

の関係式が成立します。このように電流が分岐することを分流といいます。

点bの電圧を基準にした点aの電圧を$V_{ab}$、点cを基準にした点bの電圧を$V_{bc}$とすると、点cを基準にした点aの電圧$V_{ac}$は、


分圧

$V_{ac}=V_{ab}+V_{bc}$

の関係式が成立します。このように電圧を分けることを分圧といいます。

直列・並列回路の分流と分圧

直列・並列回路の分流と分圧

オームの法則と電圧降下

オームの法則

電圧と電流の向きと大きさが時間によって変化しない電気の流れ方を直流といいます。直流電圧と直流電流を表すときは、大文字を使って $V$ 及び $I$ と表わします。素子間の電圧と素子を流れる電流が比例するとき、この素子を抵抗 $R$(単位:オーム[Ω])といいます。


オームの法則

抵抗 $R$[Ω]と電圧 $V$[V]、電流 $I$[A] の関係は次の式で表されます。

$V=IR$

この式はオームの法則といい、抵抗 $R$ は比例定数となります。
抵抗の図記号

抵抗の図記号で(b)のように矢印が描かれている抵抗器は、電気抵抗の値を変えることができる可変抵抗器です。

電圧降下

電圧降下
オームの法則は「点 a の電圧 $V_a$ が点bの電圧 $V_b$ よりも $V$ だけ高いと電流Iが抵抗 $R$ を点 a から点 b に向かって流れる」ということです。

これは、「電流 $I$ が抵抗 $R$ を点 a から点 b に向かって流れると、点bの電圧 $V_b$ が点 a の電圧 $V_a$ よりも $V$ だけ低くなる」とも考えることができます。

言い換えれば、「抵抗 $R$ の電圧降下は $V$ 」と言えます。電圧降下の考え方は非常に重要ですので覚えておいてください。

コンダクタンス

コンダクタンスG(単位:ジーメンス[S])は、電流の流れやすさを表す量です。抵抗とは逆数の関係にあります。オームの法則をコンダクタンスで表すと次の式になります。

$I=GV$「A]

抵抗の直並列接続

抵抗の直列接続

複数の抵抗を直列に接続した場合の合成抵抗を考えます。直列接続では、回路は枝分かれしませんので、すべての抵抗には同じ電流が流れます。

抵抗の直列接続

各抵抗にかかる電圧と電流をオームの法則を使って表せば、

$V_1=IR_1$
$V_2=IR_2$
$V_3=IR_3$

電源電圧 $V$ は各抵抗にかかる電圧の和に等しいので

$V=V_1+V_2+V_3=I(R_1+R_2+R_3)$

合成抵抗 $R$ は以下の式で表せます。

$R=(R_1+R_2+R_3)$

抵抗を直列に接続することは抵抗の長さを増やすことに相当します。抵抗は長さに比例しますので、直列の合成抵抗は増えます。

抵抗の並列接続

複数の抵抗を並列に接続した場合の合成抵抗を考えます。並列接続では、各抵抗にかかる電圧は電源電圧と同じ電圧がかかります。

並列接続

各抵抗にかかる電圧と電流をオームの法則を使って表せば、

$I_1=\displaystyle \frac{ V}{ R_1 }、I_2=\displaystyle \frac{ V}{ R_2 }$

回路に流れる電流 $I$ は各抵抗に流れる電流の和に等しいので

$I=I_1+I_2=\displaystyle \left(\frac{ 1}{ R_1 }+\frac{ 1}{ R_2 }\right)V$

合成抵抗 $R$ は以下の式で表せます。

$\displaystyle \frac{ 1}{ R }=\displaystyle \frac{ 1}{ R_1 }+\frac{ 1}{ R_2 }$

抵抗を並列に接続することは抵抗の断面積を増やすことに相当します。抵抗は断面積に反比例しますので、並列の合成抵抗は減ります。

2個の抵抗を並列接続した場合は、次のように変形して覚えておくと計算が楽になります。

$\displaystyle \frac{ 1}{ R }=\displaystyle \frac{ 1}{ R_1 }+\frac{ 1}{ R_2 }$ ⇒ $ R=\displaystyle \frac{ R_1R_2}{ R_1+R_2 }$

2個の抵抗の並列接続の合成抵抗は、和分の積と覚えておきましょう!

また、2個の抵抗が、例えば $R$ で同じ値の場合の合成抵抗は、$\displaystyle \frac{ R×R}{ R+R }=\frac{ R}{ 2 }$ となります。元の値の半分になりますので、覚えておくと計算が楽です。

抵抗の直並列接続

直列に接続と並列接続が組み合わされた回路の合成抵抗の求め方を考えます。

直並列

$R_2$ と $R_3$ の並列部分の合成抵抗 $R’$ を求めます。

$R’=\displaystyle \frac{ R_2R_3}{ R_2+R_3 }$

$R_1$ と $R’$ が直列に接続されていると考え合成抵抗 $R$ を求めます

$R=R_1+\displaystyle \frac{ R_2R_3}{ R_2+R_3 }$

電験3種-理論(直流回路)過去問題

1997年(平成9年)問4

図のような直流回路において、抵抗 $R$[Ω]の値として、正しいのは次のうちどれか。


1997問4

(1)2.2 (2)4.0 (3)8.8 (4)10.3 (5)15.5

1997年(平成9年)問4 過去問解説


1997年解4

抵抗 $R$[Ω]と2[Ω]の並列回路の電圧を $V_R$[V]とすると $V_R=4R$[Ω]となります。2Ωの抵抗に流れる電流を $I_2$[A]、3Ωの抵抗に流れる電流を $I_3$[A] 及び電圧降下を $V_3$[V]とし、解いていきます。

2Ωの抵抗に流れる電流を $I_2$[A]は、

$I_2=\displaystyle \frac{ V_R}{ 2 }=2R$[A]

3Ωの抵抗に流れる電流を$I_3$[A]と電圧降下を$V_3$[V]は、

$I_3=4+I_2=4+2R$[A]
$V_3=3I_3=3(4+2R)=12+6R$[V]

$V_3+V_R=100$[V]ですので、

$12+6R+4R=100$
$10R=88$
$R=8.8$[Ω]

答え(3)

1998年(平成10年)問5

図のような直流回路において、$R=10$[Ω]のときは $I=5$[A]であり、$R=8$[Ω]にしたときは  $I=6$[A]であった。この場合、電源電圧 $V$[V]の値として、正しいのは次のうちどれか。

1998年問5

(1)35 (2)40 (3)48 (4)50 (5)60

1998年(平成10年)問5 過去問解説

$V=I(r+R)$の関係式が成り立つので、題意より

$V=5(r+10)$ … (1)
$V=6(r+8)$ … (2)

(1),(2)式を解くと、

$5(r+10)=6(r+8)$
$5r+50=6r+48$
$r=2$

(1)式より

$V=5(2+10)=60$[V]

答え(5)

2001年(平成13年)問3

図のような直流回路において、電源を流れる電流は、100[A]であった。このとき、80[Ω]の抵抗に流れる電流 $I$[A]の値として、正しいのは次のうちどれか。

2001年問3

(1)3 (2)4 (3)5 (4)6 (5)7

2001年(平成13年)問3 過去問解説

4Ωの抵抗に流れる電流を $I_1$[A]、20Ωの抵抗に流れる電流を $I_2$[A]とすると、

$I_1+I_2+I=100$ … (1)

4Ωの抵抗の電圧、20Ωの抵抗の電圧、80Ωの抵抗の電圧は $E$[V]に等しいので、

$E=4I_1=20I_2=80I$ … (2)

(2)式より

$I_1=20I$ … (3)
$I_2=4I$ … (4)

(3)、(4)式を(1)式に代入する

$20I+4I+I=100$

$25I=100$

$I=4$

答え(2)

2003年(平成15年)問6

図のような直流回路において、電源電圧が $E$[V]であったとき、末端の抵抗の端子間電圧の大きさが 1[V]であった。このときの電源電圧 $E$[V]の値として、正しいのは次のうちどれか。

2003年問6

(1)34 (2)20 (3)14 (4)6 (5)4

2003年(平成15年)問6 過去問解説

わかるところから順次、電圧と電流を計算していきます。

2003年問6解

$0.25×I_1=1$ $I_1=4$
$0.25×4=V_1$ $V_1=1$

$V_2=1+V_1=2$
$0.5×I_2=2$ $I_2=4$

$I_3=I_1+I_2=8$
$V_3=0.5×8=4$

$V_4=V_2+V_3=6$
$1×I_4=6$ $I_4=6$

$I_5=I_3+I_4=14$
$V_5=1×14=14$

$E=V_4+V_5=20$

答え(2)

2004年(平成16年)問4

図の抵抗回路において、端子 a、b間の合成抵抗 $R_{ab}$ [Ω]の値は $1.8R$ [Ω]であった。このとき、抵抗 $R_x$ [Ω]の値として、正しいのは次のうちどれか。

2004問4

(1)R (2)2R (3)3R (4)4R (5)5R

2004年(平成16年)問4 過去問解説

合成抵抗 $R_{ab}$ は

$R_{ab}=R+\displaystyle \frac{ RR_x}{ R+R_x }=1.8R$

$R(R+R_x)+RR_x=1.8R(R+R_x)$

$R^2+RR_x+RR_x=1.8R^2+1.8RR_x$

$0.2RR_x=0.8R^2$

$R_x=4R$

答え(4)

2006年(平成18年)問6

図のように、即知の直流電源 $E$[V]、未知の抵抗 $R_1$[Ω]、即知の抵抗 $R_2$[Ω]及び $R_3$[Ω]からなる直流回路がある。抵抗 $R_3$[Ω]に流れる電流 $I_3$[A]であるとき、抵抗 $R_1$[Ω]を求める式として、正しいのは次のうちどれか。

2006年問6

2006年(平成18年)問6 過去問解説

抵抗 $R_1$、$R_2$に流れる電流をそれぞれ $I_1$・$I_2$、電圧をそれぞれ $V_1$・$V_2$とします。

2006問6解

$V_2=R_2I_2=R_3I_3$

$I_2=\displaystyle \frac{ R_3I_3}{ R_2 }$ … (1)

$I_1=I_2+I_3$ … (2)

$E=V_1+V_2=I_1R_1+I_3R_3$

$R_1=\displaystyle \frac{ E-I_3R_3}{ I_1 }$ … (3)

(1)式を(2)式に代入する

$\begin{eqnarray}I_1&=&I_2+I_3=\displaystyle \frac{ R_3I_3}{ R_2 }+I_3\\&=&I_3\left(1+\frac{ R_3}{ R_2 }\right)… (2)’\end{eqnarray}$

(2)’式を(3)式に代入する

$\begin{eqnarray}R_1&=&\displaystyle \frac{ E-I_3R_3}{  I_3\left(1+\frac{ R_3}{ R_2 }\right) }\\\\&=&\displaystyle \frac{ R_2E-R_2R_3I_3}{ R_2I_3+R_3I_3}\\\\&=&\displaystyle \frac{ R_2R_3\left( \frac{E}{R_3}-I_3\right)}{ (R_2+R_3)I_3}\\\\&=&\displaystyle \frac{R_2R_3}{R_2+R_3}\left(\frac{E-I_3R_3}{I_3R_3}\right)\\\\&=&\displaystyle \frac{R_2R_3}{R_2+R_3}\left(\frac{E}{I_3R_3}-1\right)\end{eqnarray}$

答え(5)

2008年(平成20年)問6

図のように、抵抗、切換スイッチS及び電流計を接続した回路がある。この回路に直流電圧100[V]を加えた状態で、図のようにスイッチSを開いたとき電流計の指示値は2.0[A]であった。また、スイッチSを①側に閉じたとき電流計の指示値は2.5[A]、スイッチSを②側に閉じたとき電流計の指示値は5.0[A]であった。このとき抵抗 $r$[Ω]の値として、正しいのは次のうちどれか。
ただし、電流計の内部抵抗は無視できるものとし、測定誤差はないものとする。

2008年問6

(1)20 (2)30 (3)40 (4)50 (5)60

2008年(平成20年)問6 過去問解説

スイッチSを開いているときの回路の式は

$2.0×(R1+R2)=100$

$R_1+R_2=50$ … (1)

スイッチSを①側に閉じたときの回路の式は

$2.5\left(R_1+\displaystyle \frac{ rR_2}{ r+R_2 }\right)=100$
$R_1+\displaystyle \frac{ rR_2}{ r+R_2 }=40$ … (2)

スイッチSを②側に閉じたとき、$R_2$は短絡します。回路の式は

$5.0×R_1=100$

$R_1=20$ … (3)

(3)式を(1)式に代入します。

$R_2=50-20=30$ … (4)

(3)、(4)式を(2)式に代入します。

$20+\displaystyle \frac{30r}{30+r}=40$

$\displaystyle \frac{30r}{30+r}=20$

$30r=20(30+r)$

$r=60$ [Ω]

答え(5)

2009年(平成21年)問6

抵抗値が異なる抵抗 $R_1$[Ω]と $R_2$[Ω]を図1のように直列に接続し、30[V]の直流電圧を加えたところ、回路に流れる電流は6[A]であった。次にこの抵抗 $R_1$[Ω]と $R_2$[Ω]を図2のように並列に接続し、30[V]の直流電圧を加えたところ、回路に流れる電流は25[A]であった。このとき $R_1$[Ω]、$R_2$[Ω]のうち小さいほうの抵抗[Ω]の値として、正しいのは次のうちどれか。

2009問6

(1)1 (2)1.2 (3)1.5 (4)2 (5)3

2009年(平成21年)問6 過去問解説

図1より

$6(R_1+R_2)=30$

$R_1+R_2=5$ … (1)

図2より

$25×\displaystyle \frac{ R_1R_2}{ R_1+R_2}=30$ … (2)

(1)式を(2)式に代入する

$25×\displaystyle \frac{ R_1R_2}{5}=30$

$R_1R_2=6$… (2)’

(1)式を変形し(2)’式に代入する

$(5-R_2)R_2=6$

$R_2^2-5R_2+6=0$

$(R_2-2)(R_2-3)=0$

$R_2=2,3$

よって小さいほうの抵抗は2[Ω]になります。

答え(4)

2012年(平成24年)問6

図のように、抵抗を直並列に接続した回路がある。この回路において、$I_1=100$[mA]のとき、$I_4$ [mA]の値として、最も近いものを次の(1)~(5)のうちから一つ選べ。

2012年問6

(1)266 (2) 400 (3)433 (4)467 (5)533

2012年(平成24年)問6 過去問解説

抵抗 $R_2$ に流れる電流を $I_2$[A]、抵抗 $R_3$ に流れる電流を $I_3$[A]とします。

抵抗 $R_1$ の電圧降下は $20×0.1=2$[V]、抵抗 $R_2$ の電圧降下は$R_1$ の電圧降下と同じで、$2$[V] となりますので、

$I_2=\displaystyle \frac{ 2}{ R_2}=\displaystyle \frac{ 2}{ 10}=0.2$[A]
$I_3=I_1+I_2=0.1+0.2=0.3$[A]

抵抗 $R_3$ の電圧降下は $40×0.3=12$[V]、抵抗 $R_4$ の電圧降下は $2+12=14$[V] となりますので、

$I_4=\displaystyle \frac{ 14}{ R_4}=\displaystyle \frac{ 14}{ 30}=0.467$[A]

答え(4)

2013年(平成25年)問5

図のように、抵抗 $R$[Ω]と抵抗 $R_x$ [Ω]を並列に接続した回路がある。この回路に直流電圧 $V$[V] を加えたところ、電流 $I$[A]が流れた。$R_x$ [Ω]の値を表す式として、正しいものを次の(1)~(5)のうちから一つ選べ。

2013年問5

2013年(平成25年)問5 過去問解説

回路の合成抵抗を $R’$ とすると

$R’=\displaystyle \frac{ RR_x}{ R+Rx}$

オームの法則より

$V=I×\displaystyle \frac{ RR_x}{ R+Rx}$

この式を $Rx$ について解いていきます。

$V(R+R_x)=IRR_X$

$VR=Rx(IR-V)$

$Rx=\displaystyle \frac{ VR}{ IR-V}$

答え(5)

2013年(平成25年)問8

図に示すような抵抗の直並列回路がある。この回路に直流電圧5[V]を加えたとき、電源から流れ出る電流 $I$[A]の値として、最も近いものを次の(1)~(5)のうちから一つ選べ。

2013年問8

(1)0.2 (2)0.4 (3)0.6 (4)0.8 (5)1.0

2013年(平成25年)問8 過去問解説

2013問8解

上図左の赤線部は短絡していますので、上右図のように書き換えることができます。

合成抵抗を$R$とすると

$R=5+\displaystyle \frac{ 10×40}{10+40}=13$[Ω]

オームの法則より

$5=13I I=0.38$[A]

答え(2)

2014年(平成26年)問6

図のように、抵抗を直並列に接続した直流回路がある。この回路を流れる電流 $I$ の値は、$I=10 mA$ であった。このとき、抵抗 $R_2$[kΩ]として、最も近い $R_2$ の値を次の(1)~(5)のうちから一つ選べ。
ただし抵抗 $R_1$[kΩ]に流れる電流 $I_1$[mA]と抵抗 $R_2$[kΩ]に流れる電流 $I_2$[mA]の電流比 $\displaystyle \frac{ I_1}{I_2} $ の値は $\displaystyle \frac{ 1}{2} $ とする。

2014年問6

(1)0.3 (2)0.6 (3)1.2 (4)2.4 (5)4.8

2014年(平成26年)問6 過去問解説

抵抗 $R_1$ の電圧降下と抵抗 $R_2$ の電圧降下は等しいので、

$R_1I_1=R_2I_2$

$\displaystyle \frac{ I_1}{I_2} =\displaystyle \frac{ 1}{2} $ なので、

$R_1=2R_2$

$R1$ と $R2$ の合成抵抗は、

$\displaystyle \frac{R_1R_2}{R_1+R_2} =\displaystyle \frac{2R_2R_2}{2R_2+R_2} =\displaystyle \frac{2R_2}{3}$ [kΩ]

オームの法則より、回路の合成抵抗は $\displaystyle \frac{10[V]}{10[mA]} =1$ [kΩ]ですので、

$1=0.2+\displaystyle \frac{2R_2}{3}$

$R_2=1.2$ [kΩ]

答え(3)

2015年(平成27年)問4

図のような直流回路において、直流電源の電圧が90Vであるとき、抵抗 $R_1$[Ω]、$R_2$[Ω]、$R_3$ [Ω]の両端電圧はそれぞれ30V、15V、10Vであった。抵抗 $R_1$、$R_2$、$R_3$のそれぞれの値[Ω]の組合せとして、正しいものを次の(1)~(5)のうちから一つ選べ。

2015年問4

2015年(平成27年)問4 過去問解説

わかるところから順次、電圧と電流を計算していきます。

2015問4解

$V_1’=90-30=60$
$V_2’=30-15=15$
$V_3’=15-10=5$

$60I_1’=60 I_1’=1$
$60I_2’=15 I_2’=\displaystyle\frac{ 1}{4}$
$60I_3’=5 I_3’=\displaystyle\frac{ 1}{12}$

$I_2’=I_2+I_3’$
$\displaystyle\frac{ 1}{4}=I_2+\displaystyle\frac{ 1}{12}$
$I_2=\displaystyle\frac{ 1}{6}$

$I_1’=I_1+I_2’$
$1=I_1+\displaystyle\frac{ 1}{4}$
$I_1=\displaystyle\frac{ 3}{4}$

よって

$R1×\displaystyle\frac{ 3}{4}=30 R1=40$[Ω]

$R2×\displaystyle\frac{ 1}{6}=15 R2=90$[Ω]

$R3×\displaystyle\frac{ 1}{12}=10 R3=120$[Ω]

答え(5)

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