【基礎からの電験3種【理論-静電気(誘電体とコンデンサー)】

電験3種の理論で出題される誘電体を挟んだコンデンサーの複雑な計算問題について、初心者の方でも解りやすいように、基礎から解説しています。このe-ラーニング講座ではコンデンサーの複雑な計算問題が出来るようになるのが目的です。また、電験3種の試験で、実際に出題された過去問題も解説しています。

コンデンサの横分割について

コンデンサーを並列接続した場合の合成静電容量は、

$C=C_{ 1 }+C_{ 2 }$

でした。この式は、2つのコンデンサーの合成静電容量は足し算で合計できるということです。逆をいえば、分割できることも意味しています。

コンデンサーの分割

このように横方向に分割ができるのは、分割前後で電気力線の数が変わらないからです。一様な電界による電圧は $V=Ed$でした。横方向に分割するので、電極間の距離dは同じです。また、電界の強さが $E$[V/m]のところは、$1m^2$(単位面積)当たり $E$[本]の電気力線があります。

つまり、コンデンサーにかかっている電圧が同じなら、電気力線の数は分割前後で変わりません。並列接続の場合は電圧が変わりませんので、このような分割ができるというわけです。

1つのコンデンサー内に誘電率が異なる物質が挿入されている場合でも、横方向の分割は成り立ちます。

コンデンサーの分割2

平行板コンデンサーは電気力線の方向が極板に垂直です。どこで分割しても、電圧が同じなら電気力線はなくなりません。

誘電体を挟んだ部分の電気力線の本数が少ないのは、誘電体が電界を弱めているからです。誘電体が差し込まれると電気力線は減り電気容量は大きくなります。

コンデンサの縦分割について

コンデンサーを直列接続した場合の合成静電容量は、
$\displaystyle\frac{1}{C}=\displaystyle\frac{1}{C_{ 1 }}+\displaystyle\frac{1}{C_{ 2 }}$
でした。この式から、複数のコンデンサーを直列に接続することは、コンデンサーの極板間を大きくすることと同じといえます。

コンデンサーの直列

誘電率が $ε$ 、極板の面積 $S$ の二つのコンデンサー $C_{ 1 }$、$C_{ 2}$の極板間の大きさをそれぞれ、 $d_{ 1 }$ 、$d_{ 2 }$ とします。

各コンデンサーの静電容量は

$C_{ 1 }=\displaystyle\frac{ εS}{ d_{ 1 } }$[F]
$C_{ 2 }=\displaystyle\frac{ εS}{ d_{ 2 } }$[F]
です。

コンデンサ直列

$\displaystyle\frac{1}{C}=\displaystyle\frac{1}{C_{ 1 }}+\displaystyle\frac{1}{C_{ 2 }}$より

$\displaystyle\frac{1}{C}=\displaystyle\frac{ d_{ 1 }}{ εS }+\displaystyle\frac{ d_{ 2 }}{ εS }=\displaystyle\frac{ d_{ 1 }+d_{ 2 }}{ εS }$

よって

$C=\displaystyle\frac{εS }{ d_{ 1 }+d_{ 2 } }$

誘電率と極板の面積が共通しているコンデンサーを直列に接続すると、コンデンサーの極板間を大きくすること ($d_{ 1 }+d_{ 2 }$) と同じといえます。

誘電率の異なる誘電体

極板間に誘電率の異なる誘電体を直列に挟んだコンデンサーについて考えてみます。極板間に挟む誘電体が極板の面積と同じ形なら、電気力線の形が変わらないので下図のように分割できます。

コンデンサーの直列分割

順番が変わっても合成静電容量は同じ

コンデンサーの入れ替え

コンデンサーは①と②のように分割できますので、$C_{ 1 }=C_{ 2}$なら、図のようにコンデンサーの順番が変わっても合成静電容量は同じになります。

導体を挟んだコンデンサー

導体をはさんだコンデンサー

①のように、コンデンサーの途中に導体を挟んだ場合、静電誘導により②のように電荷が現れます。導体内部では電界は0になります。つまり③のように導体部分は無いものとみなすことができます。③を合成すると④のようになります。

誘電体を挟んだコンデンサー

誘電体を挟んだ場合

 

①のように、コンデンサーの途中に誘電体を挟んだ場合、②のようにコンデンサーを分割できます。コンデンサーは電荷が現れます。コンデンサーは順番が変わっても合成静電容量は同じですので、③のように考えることができます。③を合成すると④のようになります。

電験3種-理論(静電気)過去問題

2002年(平成14年)問1

図のように、面積 $S$[㎡]の電極板からなる平行板コンデンサがある。この電極板と平行に同じ形の導体平板を図に示す間隔で入れ、このコンデンサの両端の電極に $120$[V]の直流電圧を加えて充電した。このとき、図中の電圧 $V_{ 0 }$ [V]の値として、正しいのは次のうちどれか。
ただし、電極板間の誘電体の誘電率は同一とし、充電前の電極及び導体平板の初期電荷は零とする。また、電極板及び導体平板の厚さ並びにこれらの端効果は、無視できるものとする。

2002年問1

2002年(平成14年)問1 過去問解説

コンデンサーの静電容量は、誘電率をεとすると $C=\displaystyle\frac{ εS}{ d }$[F]ですので、電極間隔 $d$と $3d$の静電容量をそれぞれ $C_{ 0 }$、$C$とすれば、

$C_{ 0 }=\displaystyle\frac{ εS}{ d }$

$C=\displaystyle\frac{ εS}{ 3d }$

 

2002年問1の解

直流回路に蓄えられる電荷Qは等しいので、

$Q=CV=C_{ 0 }V_{ 0 }$

$V+V_{ 0 }=120$なので、

$C(120-V_{ 0 })=C_{ 0 }V_{ 0 }$

$\displaystyle\frac{ εS}{ 3d }(120-V_{ 0 })=\displaystyle\frac{ εS}{ d }V_{ 0 }$
$(120-V_{ 0 })=3V_{ 0 }$
$V_{ 0 }=30$

答え(2)

2003年(平成15年)問2

真空中において、一辺 $l$[m]の正方形電極を間隔 $d$[m]で配置した平行板コンデンサがある。図1はこのコンデンサの電極板間に比誘電率 $ε_{ r }=3$の誘電体を挿入した状態、図2は図1の誘電体を電極面積の1/2だけ引き出した状態を示している。図1及び図2の二つのコンデンサの静電容量 $C_{ 1 }$[F]及び $C_{ 2 }$[F]の比($C_{ 1 }:C_{ 2 }$)として、正しいのは次のうちどれか。
ただし、$l>>d$であり、コンデンサの端効果は無視できるものとする。

2003年問2

2003年(平成15年)問2 過去問解説

図1のコンデンサの静電容量は

$C_{ 1 }=\displaystyle\frac{ ε_{ 0 }ε_{ r }l^2}{ d }=\displaystyle\frac{ 3ε_{ 0 }l^2}{ d }$

図2のコンデンサの静電容量は誘電率$ε_{ 0 }$と$ε_{ 0 }ε_{ r }$のコンデンサーが半分ずつ挿入されているので、

$C_{ 2 }=\displaystyle\frac{ ε_{ 0 }×l×\frac{ l}{ 2 }}{ d }+\displaystyle\frac{ ε_{ 0 }ε_{ r }×l×\frac{ l}{ 2 }}{ d }=\displaystyle\frac{ ε_{ 0 }×l^2}{ 2d }+\displaystyle\frac{ 3ε_{ 0 }×l^2}{ 2d }=\displaystyle\frac{ 2ε_{ 0 }l^2}{ d }$

よって

$C_{ 1 }:C_{ 2 }=\displaystyle\frac{ 3ε_{ 0 }l^2}{ d }:\displaystyle\frac{ 2ε_{ 0 }l^2}{ d }=3:2$

答え(3)

2004年(平成16年)問1

真空中において、面積 $S$[㎡]の電極板を間隔 $d$[m]で配置した平行板コンデンサがある。この電極板と同じ形をした厚さ( $\frac{ d}{ 2 }$)[m]、比誘電率2の誘電体を図に示す間隔で平行に挿入した。このとき、誘電体を挿入する前と比較してコンデンサの静電容量[F]は何倍になるか。その倍率として最も近いのは次のうちどれか。
ただし、電極板の厚さ並びにコンデンサの端効果は、無視できるものとする。

2004年問1

2004年(平成16年)問1 過去問解説

誘電体を挿入する前の静電容量を$C_{ 1 }$[F]とすると,

$C_{ 1 }=\displaystyle\frac{ ε_{ 0 }S}{ d }$

誘電体を挿入した後の静電容量を$C_{ 2 }$[F]とすると,

$\displaystyle\frac{ 1}{C_{ 2 }}=\displaystyle\frac{ 1}{ \frac{ ε_{ 0 }S}{ \frac{ d}{ 2 } }}+\displaystyle\frac{ 1}{\frac{ ε_{ 0 }ε_{ r }S}{ \frac{ d}{ 2 } }}=\displaystyle\frac{ 3d}{4ε_{ 0 }S}$

よって

$C_{ 2 }=\displaystyle\frac{ 4ε_{ 0 }S}{ 3d }=\displaystyle\frac{ 4}{ 3 }C_{ 1 }$

答え(1)

2006年(平成18年)問2

図1に示すような、空気中における固体誘導体を含む複合誘電体平行平板電極がある。この下部電極を接地し、上部電極に電圧を加えたときの電極間の等電位線の分布を示す断面図として、正しいのは次のうちどれか。
ただし、誘電体の導電性及び電極と誘電体の端効果は無視できるものとする。
参考までに固体誘電体を取り除いた、空気中平行平板電極の場合の等電位線の分布を図2に示す。

2006年問2

2006年(平成18年)問2 過去問解説

$C_{ 1 }=\displaystyle\frac{ ε_{ 0 }S}{ d }$

$C_{ 2 }=\displaystyle\frac{ ε_{ 0 }ε_{ r }S}{ d }=\displaystyle\frac{ 6ε_{ 0 }S}{ d }$

$Q=C_{ 1 }V_{ 1 }=C_{ 2 }V_{ 2 }$より

$V_{ 1 }=6V_{ 2 }$

$C_{ 1 }$のコンデンサの電圧は$C_{ 2 }$の電圧の6倍ですので,等電位線の密度も6倍となります。

答え(3)

理論電験3種
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