単相交流の直列回路

第三種電気主任技術者（電験三種）試験に独学で合格できるよう、分野ごとに「考え方」や「解き方」の解説と過去問題をまとめています。このページで、電験三種の理論科目に出題される単相交流の直列回路について、初心者の方でも解りやすく、基礎から勉強できます。また、電験三種の理論科目の試験で、実際に出題された単相交流の直列回路の過去問題も解説しています。

$R,L,C$ 単独回路

抵抗 $R$ が単独の交流回路

コイル（インダクタ） $L$ が単独の交流回路

コイル（インダクタ）は素子を流れる電流 $i $［A］と素子が発生する磁束 $ϕ$［Wb］が比例する素子です。

$ϕ = Li$

比例定数 $L$ を「インダクタンス」（単位：H　読み［ヘンリー］）といいます。インダクタンスが $L$ であるコイルのことを、「コイル $L$ 」と呼びます。

コンデンサ（キャパシタ） $C$ が単独の交流回路

コンデンサ（キャパシタ）は素子に蓄えられている電荷 $q$［C］ が素子の端子間電圧 $v$［V］に比例する素子です。

$ q=Cv $

比例定数 $C$ を「キャパシタンス又は静電容量」（単位：F　読み［ファラド］）といいます。静電容量が $C$ であるコ ンデンサのことを、「コンデンサ $C$」と呼びます。

誘導性リアクタンスと容量性リアクタンス

コイルとコンデンサにおいて、電圧と電流の実効値に注目すると、$ωL$ と $\displaystyle \frac{ 1 }{ ωC }$ は抵抗と同様の働きをしていることが分かります。これらは、「誘導性リアクタンス $X_L$」 と「容量性リアクタンス $X_C$」 と定義されています。どちらも単位はオーム［Ω］です。

インピーダンスとアドミタンス

インピーダンス

交流回路で素子の両端の電圧を $\dot{V}$［V］、素子を流れる電流を $\dot{I}$［A］とするとき、「インピーダンス $Z$［Ω］」と呼ばれる量が定義されています。

インピーダンス $Z$ の定義式：$Z = \displaystyle \frac{ \dot{V} }{ \dot{I} } $

この関係式は、直流回路におけるオームの法則と同じ形で、抵抗 $R$ をインピーダンス $Z$ に置き換えたものです。ただし、一般的にはインピーダンスは複素数になりますので、計算は直流回路に比べて複雑になります。各基本素子のインピーダンスは次のとおりになります。

インピーダンス三角形

インピーダンス $Z$ をベクトル図で表すと、$R$ が抵抗分、$X$ がリアクタンス分になります。リアクタンス分が正のときは誘導性で、負のときは容量性といいます。

インピーダンス $Z$ を、$Z=|Z|∠θ_Z$ とすると、$|Z|$ をインピーダンスの大きさ、$θ_Z$ をインピーダンス角といい、次のとおりになります。

アドミタンス

インピーダンス $Z$ の逆数を「アドミタンス $Y$（単位：S　読み［ジーメンス］）」 といいます。インピーダンスと同様に、アドミタンスも複素数になります。

アドミタンス $Y$ の定義式：$Y=\displaystyle \frac{ 1}{ Z } = \displaystyle \frac{\dot{I}}{ \dot{V}} $

各基本素子のアドミタンスは次のとおりになります

アドミタンス三角形

アドミタンス $Y$ をベクトル図で表すと、$G$ がコンダクタンス分、$B$ がサセプタンス分といいます。サセプタンス分が正のときは容量性で、負のときは誘導性になります。

アドミタンス $Y$ を、$Y=|Y|∠θ_Y$ とすると、$|Y|$ をアドミタンスの大きさ、$θ_Y$ をアドミタンス角といい、次のとおりになります。

交流の直列回路

合成インピーダンス

$RL$ 直列回路

電流 $I$ を基準としたフェーザ図は次のようになります。

誘導性リアクタンスを $X_L$［Ω］、インピーダンス $\dot{Z}$ の大きさを $Z$［Ω］とすると、抵抗 $R$ とコイル $L$ からなる直列回路は、次のような関係式が成り立ちます。

インピーダンス三角形は、電流 $I$ を基準とした電圧のフェーザ図と相似になります。

$RC$ 直列回路

電流 $I$ を基準としたフェーザ図は次のようになります。

容量性リアクタンスを $X_C$［Ω］、インピーダンス $\dot{Z}$ の大きさを $Z$［Ω］とすると、抵抗 $R$ とコンデンサ $C$ からなる直列回路は、次のような関係式が成り立ちます。

インピーダンス三角形は、電流 $I$ を基準とした電圧のフェーザ図と相似になります。

$RLC$ 直列回路

電流 $I$ を基準としたフェーザ図は次のようになります。

誘導性リアクタンスを $X_L$［Ω］、容量性リアクタンスを $X_C$［Ω］、インピーダンス $\dot{Z}$ の大きさを $Z$［Ω］とすると、抵抗 $R$ とコンデンサ $C$ からなる直列回路は、次のような関係式が成り立ちます。

インピーダンス三角形は、電流 $I$ を基準とした電圧のフェーザ図と相似になります。

$RLC$ 直列回路の例題

図の回路の誘導性リアクタンス $X_L$［Ω］、容量性リアクタンス $X_C$［Ω］、合成インピーダンス $Z$［Ω］、電流 $I$［A］、$R$，$L$，$C$に生じる電圧降下 $V_R$，$V_L$，$V_C$ を求めてみます。

誘導性リアクタンスと容量性リアクタンス

誘導性リアクタンス $X_L$［Ω］は、

$\begin{eqnarray}X_L&=&ωL\\\\&=&400×17.5×10^{-3}＝7［Ω］\end{eqnarray}$

容量性リアクタンス $X_C$［Ω］は、

$\begin{eqnarray}X_C&=&\displaystyle \frac{ I }{ ωC }\\\\&=&\displaystyle \frac{ I }{400×1250×10^{-6} }\\\\&＝&\displaystyle \frac{1 }{0.5 }=2［Ω］\end{eqnarray}$

合成インピーダンス

$RLC$ 直列回路の合成インピーダンスは、各インピーダンスのベクトル合計です。

$\begin{eqnarray}\dot{Z}&=&R+\dot{X_L}+\dot{X_C}\\\\&=&R+jX_L-jX_C\\\\&=&R+j(X_L-X_C)\\\\&=&5\sqrt{3}+j(7-2)\\\\&=&5\sqrt{3}+j5［Ω］\end{eqnarray}$

フェーザ図は次のようになります。

図よりインピーダンス $\dot{Z}$ の大きさと、偏角 $θ_Z$ を求めてみます。

$\begin{eqnarray}|Z|&=&\sqrt{(5\sqrt{3})^2+5^2}\\\\&=&\sqrt{75+25}=\sqrt{100}=10［Ω］\end{eqnarray}$

$\begin{eqnarray}θ_Z&=&tan^{-1}\displaystyle \frac{ 5 }{5\sqrt{3} }\\\\&=&tan^{-1}\displaystyle \frac{ 1}{\sqrt{3} }\\\\&=&\displaystyle \frac{ π }{6 }\end{eqnarray}$

電流

$RLC$ 直列回路に流れる電流のベクトル $\dot{I}$ は、電圧の実効値を $\dot{V}$ とすると、オームの法則より

$\begin{eqnarray}\dot{I}&=&\displaystyle \frac{ \dot{V} }{\dot{Z} }\\\\&=&\displaystyle \frac{ 10 }{5\sqrt{3}+j5 }\\\\&=&\displaystyle \frac{ 10(5\sqrt{3}-j5) }{(5\sqrt{3}+j5)(5\sqrt{3}-j5) }\\\\&=&\displaystyle \frac{ 50\sqrt{3}-j50 }{(5\sqrt{3})^2-(j5)^2 }\\\\&=&\displaystyle \frac{ 50\sqrt{3}-j50 }{75+25 }\\\\&=&\displaystyle \frac{ 50\sqrt{3}-j50 }{100 }\\\\&=&\displaystyle \frac{ \sqrt{3} }{2 }-j\displaystyle \frac{ 1 }{2 }\end{eqnarray}$

フェーザ図は次のようになります。

図より電流 $\dot{I}$ の大きさ（実効値）と、偏角（位相） $θ_I$ を求めてみます。

$\begin{eqnarray}I&=&\displaystyle\sqrt{\left( \frac{ \sqrt{3} }{2}\right)^2+\left( \frac{ 1 }{2}\right)^2}\\\\&=&\displaystyle\sqrt{ \frac{ 3 }{4}+ \frac{ 1 }{4}}=1［A］\end{eqnarray}$

$\begin{eqnarray}θ_I&=&tan^{-1}\displaystyle \frac{ -\displaystyle \frac{1 }{2 } }{\displaystyle \frac{ \sqrt{3} }{2 } }\\\\&=&tan^{-1}(- \frac{ 1}{\sqrt{3} })\\\\&=&-\displaystyle \frac{ π }{6 }\end{eqnarray}$

電流を瞬時値 $i$［A］で表してみると、

$i=\sqrt{2}sin(400t-\displaystyle \frac{ π }{6 })$［A］

電圧降下

$R$，$L$，$C$に生じる電圧降下 $V_R$，$V_L$，$V_C$ を求めてみます。

$\begin{eqnarray}\dot{V_R}&=&R\dot{I}\\\\&=&5\sqrt{3}\left(\displaystyle \frac{ \sqrt{3} }{2 }-j\displaystyle \frac{ 1 }{2 }\right)\\\\&=&\displaystyle \frac{ 5\sqrt{3}×\sqrt{3} }{2 }-j\displaystyle \frac{ 5\sqrt{3} }{2 }\\\\&=&\displaystyle \frac{ 15 }{2 }-j\displaystyle \frac{ 5\sqrt{3} }{2 }\end{eqnarray}$

$\begin{eqnarray}\dot{V_L}&=&jX_L\dot{I}\\\\&=&j7\left(\displaystyle \frac{ \sqrt{3} }{2 }-j\displaystyle \frac{1 }{2 }\right)\\\\&=&\displaystyle \frac{ 7 }{2 }+j\displaystyle \frac{7 \sqrt{3} }{2 }\end{eqnarray}$

$\begin{eqnarray}\dot{V_C}&=&-jX_C\dot{I}\\\\&=&-j2\left(\displaystyle \frac{ \sqrt{3} }{2 }-j\displaystyle \frac{1 }{2 }\right)\\\\&=&-1-j\sqrt{3} \end{eqnarray}$

キルヒホッフの法則は、交流回路においても成り立ちます。キルヒホッフの電圧測が成り立つのかを試してみます。電源電圧の実効値 $\dot{V}$ は、$\dot{V}=\dot{V_R}+\dot{V_L}+\dot{V_C}$ ですので、

$\begin{eqnarray}\dot{V}&=&\dot{V_R}+\dot{V_L}+\dot{V_C}\\\\&=&(\displaystyle \frac{ 15 }{2 }-j\displaystyle \frac{ 5\sqrt{3} }{2 })+(\displaystyle \frac{ 7 }{2 }+j\displaystyle \frac{7 \sqrt{3} }{2 })+(-1-j\sqrt{3} )\\\\&=&(\displaystyle \frac{ 15 }{2 }+\displaystyle \frac{ 7 }{2 }-1)+j(-\displaystyle \frac{ 5\sqrt{3} }{2 }+\displaystyle \frac{7 \sqrt{3} }{2 }-\sqrt{3})\\\\&=&10+j0\end{eqnarray}$

　　

電験三種－理論の過去問解説：単相交流の直列回路

(財)電気技術者試験センターが作成した、第三種電気主任技術者試験の理論科目で出題された問題です。

1998年（平成10年）問7【電験理論の過去問題】

図のような交流回路において、抵抗 $R$ の両端の電圧 $V_R$［V］の値が電源電圧 $V$［V］の値の $\displaystyle \frac{ 1 }{\sqrt{2}}$ 倍であった。このときの抵抗 $R$［Ω］とインダクタンス $L$［H］との関係を表す式として、正しいのは次のうちどれか。ただし、電源電圧の各周波数は $ω$［rad/s］とする。

(1) $R=L$　(2) $L=ωR$　(3) $ωLR=1$　(4) $R=ωL$　(5) $ω=LR$

2000年（平成12年）問9【電験理論の過去問題】

図のような回路において、電源電圧が $e=200sin(ωt+\displaystyle \frac{ π }{4})$［V］であるとき、回路に流れる電流 $i$［A］を表す式として正しいのは次のうちどれか。

(1) $i=10sin(ωt+\displaystyle \frac{ π }{12})$
(2) $i=5\sqrt{2}sin(ωt-\displaystyle \frac{ π }{6})$
(3) $i=10\sqrt{2}sin(ωt+\displaystyle \frac{ π }{6})$
(4) $i=5\sqrt{2}sin(ωt-\displaystyle \frac{ π }{12})$
(5) $i=10sin(ωt-\displaystyle \frac{ π }{12})$

2003年（平成15年）問16【電験理論の過去問題】

図１のように、抵抗 $R_0=16$［Ω］、インピーダンス $\dot{Z}$［Ω］の誘導性負荷（抵抗 $R$［Ω］、誘導性リアクタンス $X$［Ω］）を直列に接続した交流回路がある。 正弦波交流電圧 $\dot{E}=10\sqrt{3}$［V］の電源をこの回路に接続したところ、$R_0$ の端子間電圧の大きさ、誘導性負荷の端子間電圧の大きさは、それぞれ $10$［V］であった。 次の(a)及び(b)に答よ。

(a) 回路に流れる電流を $\dot{I}$［A］とすれば、$\dot{E}$、$R_0\dot{I}$、$\dot{Z}\dot{I}$ の関係をベクトル図で表すと図２のようになる。電流 $\dot{I}$［A］の大きさの値と、電圧 $\dot{E}$ と電流 $\dot{I}$ の位相差 $θ$［°］の値として、正しいものを組み合わせたものは次のうちどれか。

(b) $\dot{E}$、$(R_0+R)\dot{I}$、$X\dot{I}$ の関係をベクトル図で表すと図３のようになる。これより、$R$［Ω］と $X$［Ω］の値として、最も近いものを組み合わせたものは次のうちどれか。

2004年（平成16年）問8【電験理論の過去問題】

図１のような抵抗 $R$［Ω］と誘導性リアクタンス $X$［Ω］との直列回路がある。この回路に正弦波交流電圧 $E=100$［V］を加えたとき、回路に流れる電流は $10$［A］であった。この回路に図２のように、更に抵抗 $11$［Ω］を直列接続したところ、回路に流れる電流は $5$［A］になった。抵抗 $R$［Ω］の値として、最も近いのは次のうちどれか。

(1) 5.5　(2) 8.1　(3) 8.6　(4) 11.4　(5) 16.7

2006年（平成18年）問9【電験理論の過去問題】

図のように、$R$［Ω］の抵抗インダクタンス $L$［H］のコイルを直列に接続した回路がある。この回路に角周波数 $ω$［rad/s］の正弦波交流電圧 $\dot{E}$［V］を加えたとき、この電圧の位相［rad］に対して回路を流れる電流 $\dot{I}$［A］の位相［rad］として、正しいのは次のうちどれか。

2009年（平成21年）問8【電験理論の過去問題】

図のように、$R=\sqrt{3}ωL$［Ω］の抵抗、インダクタンス $L$［H］のコイル、スイッチ S が角周波数 $ω$［rad/s］の交流電圧 $\dot{E}$［V］の電源に接続されている。スイッチ S を開いているとき、コイルを流れる電流の大きさを $I_1$［A］、電源電圧に対する電流の位相差を $θ_1$［°］とする。また、スイッチ S を閉じているとき、コイルを流れる電流の大きさを $I_2$［A］、電源電圧に対する電流の位相差を $θ_2$［°］とする。このとき、$\displaystyle\frac{I_1}{I_2}$ 及び $|θ_1-θ_2|$［°］の値として、正しいものを組み合わせたのは次のうちどれか。

2011年（平成23年）問9【電験理論の過去問題】

図のように、$1000$［Ω］の抵抗と静電容量 $C$［μF］のコンデンサを直列に接続した交流回路がある。いま、電源の周波数が $1000$［Hz］のとき，電源電圧 $\dot{E}$［V］と電流 $\dot{I}$［A］の位相差は $\displaystyle\frac{π}{3}$［rad］であった。このとき、コンデンサの静電容量 $C$［μF］の値として、最も近いものを次の(1)～(5)のうちから一つ選べ。

(1) 0.053　(2) 0.092　(3) 0.107　(4) 0.159　(5) 0.258

2013年（平成25年）問7【電験理論の過去問題】

$4$［Ω］の抵抗と静電容量が $C$［F］のコンデンサを直列に接続したRC回路がある。このRC回路に、周波数 $50$［Hz］の交流電圧 $100$［V］の電源を接続したところ、$20$［A］の電流が流れた。では、このRC回路に、周波数 $60$［Hｚ］の交流電圧 $100$［V］の電源を接続したとき、RC回路に流れる電流［A］の値として、最も近いものを次の(1)～(5)のうちから一つ選べ。

(1) 16.7　(2) 18.6　(3) 21.2　(4) 24.0　(5) 25.6

2017年（平成29年）問8【電験理論の過去問題】

図のように、交流電圧 $E=100V$ の電源、誘導性リアクタンス $X=4Ω$ のコイル、$R_1$［Ω］，$R_2$［Ω］の抵抗からなる回路がある。いま、回路を流れる電流の値が $I=20A$ であり、また、抵抗 $R_1$ に流れる電流 $I_1$［A］と抵抗 $R_2$ に流れる電流 $I_2$［A］との比が、$I_1:I_2 = 1:3$ であった。このとき、抵抗 $R_1$ の値［Ω］として、最も近いものを次の(1)～(5)のうちから一つ選べ。

(1) 1.0　(2) 3.0　(3) 4.0　(4) 9.0　(5) 12