相互インダクタンス

第三種電気主任技術者（電験三種）試験に独学で合格できるよう、分野ごとに「考え方」や「解き方」の解説と過去問題をまとめています。このページで、電験三種の理論科目に出題される「相互インダクタンス」について、初心者の方でも解りやすく、基礎から勉強できます。また、電験三種の理論科目の試験で、実際に出題された「相互インダクタンス」の過去問題も解説しています。

相互誘導と相互インダクタンス

相互誘導作用

図のような、コイルを含む回路が２つあります。左の回路には電源が付いてますが、右の回路には電源がありません。

左の回路（１次コイル）のスイッチを入れれば、コイル内部に磁界が発生します。右の回路（２次コイル）があまり離れてなければ、１次コイルの磁界が２次コイルに影響を与えます。

１次コイルの電流が一定なら何も起こりませんが、スイッチの開閉によって電流が変化すると、１次コイルの磁界が変化し、２次コイルは電磁誘導が起こります。そして、電源の無いはずの右の回路に電流が流れます。この現象を「相互誘導」といいます。

相互インダクタンス

図にように環状鉄心に巻かれた１次コイルと２次コイルの巻数を $N_1$ 、$N_2$ とし、コイルの断面積を $S$［m²］、コイルの長さ $l$［m］、１次コイル $L_1$ に流れる電流を $ΔI_1$［A］とします。

ファラデーの電磁誘導の法則より、時間 $Δt $［s］の間にコイルを貫く磁束が $Δ ϕ _1$［Wb］だけ変化するとき、２次コイルに発生する誘導起電力 $e_2$［V］は、次のように表されます。

$e_2=-N_2\displaystyle\frac{Δ ϕ _1}{Δt}$［V］

磁気回路のオームの法則は次のように表されます。

$R_{ m }=\displaystyle \frac{ N_1ΔI}{ Δ ϕ _1}=\displaystyle \frac{ l}{ μS}$

$Δ ϕ _1=\displaystyle\frac{μSN_1ΔI}{l }$［Wb］

この式を$e_2=-N_2\displaystyle\frac{Δ ϕ _1}{Δt}$に代入すると、

$e_2=-N_2\displaystyle\frac{1}{Δt}×\displaystyle\frac{μSN_1ΔI}{l }=-\displaystyle\frac{μSN_1N_2}{l}\frac{ΔI}{Δt}$［V］

この $\displaystyle\frac{μSN_1N_2}{l}$ を「相互インダクタンス」といい、記号 $M$（単位　ヘンリー［H］）で表します。

$M=\displaystyle\frac{μSN_1N_2}{l}$［H］

インダクタンスの結合係数

１次コイルに$ΔI_1$［Ａ］の電流を流したとき、$Δ ϕ _1$［Wb］の磁束が発生するとします。この磁束がすべて２次コイルと鎖交するとすれば、

$L_1=N_1\displaystyle\frac{Δ ϕ _1}{ΔI_1}$［H］

$M=N_2\displaystyle\frac{Δ ϕ _1}{ΔI_1}$［H］

となります。

２次コイルに$ΔI_2$［Ａ］の電流を流したとき、$Δ ϕ _2$［Wb］の磁束が発生するとします。この磁束がすべて１次コイルと鎖交するとすれば、

$L_2=N_2\displaystyle\frac{Δ ϕ _2}{ΔI_2}$［H］

$M=N_1\displaystyle\frac{Δ ϕ _2}{ΔI_2}$［H］

となります。

これらの式より

$\begin{eqnarray}L_1×L_2&=&\left(N_1\displaystyle\frac{Δ ϕ _1}{ΔI_1}\right)×\left(N_2\displaystyle\frac{Δ ϕ _2}{ΔI_2}\right)\\\\&=&\left(N_2\displaystyle\frac{Δ ϕ _1}{ΔI_1}\right)×\left(N_1\displaystyle\frac{Δ ϕ _2}{ΔI_2}\right)\\\\&=&M^2\end{eqnarray} $

$M=\displaystyle\sqrt{L_1L_2}$

しかし、普通はいくらかの漏れ磁束が発生します。二つの磁束の結びつきを示すのに、「結合係数」（記号 $k$ ）を使って表します。

$M=k\displaystyle\sqrt{L_1L_2}$

結合係数 $ k $ は $0<k≦1$ の範囲になります。

結合係数 $k$ は２つのコイル間の漏れ磁束の割合をあらわしたもので、一方のコイルに発生した磁束の全て(100%) が、もう一方のコイルを貫く状態のことを「漏れ磁束無し」といい、漏れ磁束無しのときの結合係数は $k=1$ になります。

インダクタンスの和動接続と差動接続

１次コイルと２次コイルがつくる磁界が同じ向きになる接続方法を「和動接続」といい、磁界の向きが逆になるような接続方法を「差動接続」といいます。

和動接続

端子１－４から見た全体の合成インダクタンスは次のようになります。

$\begin{eqnarray}L&=&N_1\displaystyle\frac{ ϕ _1+ ϕ _2}{I}+N_2\displaystyle\frac{ ϕ _1+ ϕ _2}{I}\\\\&=&N_1\displaystyle\frac{ ϕ _1}{I}+N_1\displaystyle\frac{ ϕ _2}{I}+N_2\displaystyle\frac{ ϕ _1}{I}+N_2\displaystyle\frac{ ϕ _2}{I}\\\\&=&L_1+M+M+L_2\\\\&=&L_1+L_2+2M\end{eqnarray} $

差動接続

端子１－３間の全体の合成インダクタンスは次のようになります。

$\begin{eqnarray}L&=&N_1\displaystyle\frac{ ϕ _1- ϕ _2}{I}+N_2\displaystyle\frac{ ϕ _2- ϕ _1}{I}\\\\&=&N_1\displaystyle\frac{ ϕ _1}{I}-N_1\displaystyle\frac{ ϕ _2}{I}+N_2\displaystyle\frac{ ϕ _2}{I}-N_2\displaystyle\frac{ ϕ _1}{I}\\\\&=&L_1-M+L_2-M\\\\&=&L_1+L_2-2M\end{eqnarray} $

　　

電験三種－理論の過去問解説：相互インダクタンス

(財)電気技術者試験センターが作成した、第三種電気主任技術者試験の理論科目で出題された問題です。

1999年（平成11年）問2【電験理論の過去問題】

A、B二つのコイルがあり、Aコイルに流れる電流 i［A］を 1/1000 秒間に 40［mA］変化させている間、Bコイルに 0.3［V］の起電力を発生する。この両コイル間の相互インダクタンス M［mH］の値として、正しいのは次のうちどれか。

(1) 0.65　(2) 0.75　(3) 5.5　(4) 6.5　(5) 7.5

2003年（平成15年）問4【電験理論の過去問題】

図のように、環状鉄心にコイル１及びコイル２が巻かれている。コイル１、コイル２の自己インダクタンスをそれぞれ $L_1$、$L_2$とし、その巻数をそれぞれ $N_1=100$、$N_2=1000$としたとき、$L_1=1×10^{-3}$［H］であった。このとき、自己インダクタンス $L_2$［H］の値と、コイル１とコイル２の相互インダクタンス $M$［H］の値として、正しいものを組み合わせたのは次のうちどれか。
ただし、鉄心は等断面、等質であり、コイル及び鉄心の漏れ磁束はないものとする。 

2008年（平成20年）問4【電験理論の過去問題】

図のように、環状鉄心に二つのコイルが巻かれている。コイル１の巻数は $N$ であり、その自己インダクタンスは $L$［H］である。コイル２の巻数は $n$であり、その自己インダクタンスは $4L$［H］である。巻数 $n$ の値を表す式として、正しいのは次のうちどれか。
ただし、鉄心は等断面、等質であり、コイル及び鉄心の漏れ磁束はなく、また鉄心の磁気飽和もないものとする。

(1) $\displaystyle\frac{N}{4}$　(2) $\displaystyle\frac{N}{2}$　(3) 2N　(4) 4N　(5) 16N

2012年（平成24年）問3【電験理論の過去問題】

次の文章は、コイルのインダクタンスに関する記述である。ここで、鉄心の磁気飽和は、無視するものとする。
均質で等断面の環状鉄心に被覆電線を巻いてコイルを作製した。このコイルの自己インダクタンスは、巻数の（　ア　）に比例し、磁路の（　イ　）に反比例する。
同じ鉄心にさらに被覆電線を巻いて別のコイルを作ると、これら二つのコイル間には相互インダクタンスが生じる。相互インダクタンスの大きさは、漏れ磁束が（　ウ　）なるほど小さくなる。それぞれのコイルの自己インダクタンスを $L_1 $［H］、$L_2$ ［H］とすると、相互インダクタンスの最大値は（　エ　）［H］である。
これら二つのコイルを（　オ　）とすると、合成インダクタンスの値は、それぞれの自己インダクタンスの合計値よりも大きくなる。

上記の記述中の空白箇所(ア)，(イ)，(ウ)，(エ)及び(オ)に当てはまる組合せとして、正しいものを次の(1)～(5)のうちから一つ選べ。

	（ア）	（イ）	（ウ）	（エ）	（オ）
（１）	１乗	断面積	少なく	$L1+L2$	差動接続
（２）	２乗	長さ	多く	$L1+L2$	和動接続
（３）	１乗	断面積	少なく	$\sqrt{L_1L_2}$	和動接続
（４）	２乗	長さ	多く	$L1+L2$	差動接続
（５）	２乗	長さ	多く	$\sqrt{L_1L_2}$	和動接続

2017年（平成29年）問3【電験理論の過去問題】

環状鉄心に、コイル1及びコイル2が巻かれている。二つのコイルを図1のように接続したとき、端子A-B間の合成インダクタンスの値は $1.2H$ であった。次に、図2のように接続したとき、端子C-D間の合成インダクタンスの値は $2.0H$ であった。このことから、コイル1の自己インダクタンス $L$ の値［H］、コイル1及びコイル2の相互インダクタンス $M$ の値［H］の組合せとして、正しいものを次の（ 1 ）～（ 5 ）のうちから一つ選べ。
ただし、コイル1及びコイル2の自己インダクタンスはともにL［H］、その巻数をNとし、また、鉄心は等断面、等質であるとする。