コンデンサの直列接続と並列接続

並列接続部分の合成静電容量 C_p［F］とすると、

$C_p=C_{ 2 }+C_{ 3 }$［F］

コンデンサを直列接続したときの電荷量 Q［C］は、

$Q=C_{ 1 }V_{ 1 }=C_{ p}V_{ 2 }$

$C_{ 1 }V_{ 1 }=(C_{ 2 }+C_{ 3 })V_{ 2 }$

$V_{ 1 }=\displaystyle\frac{(C_{ 2 }+C_{ 3 })V_{ 2 }}{C_{ 1}}$

V=V₁+V₂［V］の関係がありますので、

$V=\displaystyle\frac{(C_{ 2 }+C_{ 3 })V_{ 2 }}{C_{ 1}}+V_{ 2 }=\displaystyle\frac{(C_{ 1}+C_{ 2 }+C_{ 3 })V_{ 2 }}{C_{ 1}}$

$V_{ 2 }=\displaystyle\frac{C_{ 1}V}{C_{ 1}+C_{ 2 }+C_{ 3 }}$

コンデンサ C₂ に蓄えられる電荷の値 Q［C］は、

$Q=C_{ 2}V_{ 2 }=\displaystyle\frac{C_{ 1}C_{ 2}V}{C_{ 1}+C_{ 2 }+C_{ 3 }}$［C］

答え (4)

スイッチSが開いている場合、コンデンサは直列接続なので、各コンデンサは、同量の電荷を蓄えます。各コンデンサに蓄えれれる電荷量を Q［C］、ab間の電圧を V₂［V］とすると、

$Q=C_2V_2=1×10^{-6}×15=15$ [μC]

したがって E［V］は、

$E=\displaystyle\frac {Q}{C_1}×3+ \displaystyle\frac {Q}{C_2} =\displaystyle\frac {15}{0.6}×3+ \displaystyle\frac {15}{1} =90$ [V]

スイッチSが閉じている場合 、$ \displaystyle\frac { C_1 }{3} $のコンデンサと、$C_2$ と $C_3$ が並列に接続された 1.3 [μF] のコンデンサが直列に接続された回路になりますので、1.3 [μF] に加わる電圧は、容量に反比例しますので、

$E_{ab}=90× \displaystyle\frac {0.2}{1.3+0.2}＝12$［V］

答え (5)

図１の合成静電容量を C₁［μF］とすると、

$\displaystyle\frac{1}{C_{ 1}}=\displaystyle\frac{1}{20}+\displaystyle\frac{1}{30}=\displaystyle\frac{1}{12}$

$C_{ 1}=12$［μF］

図１で２つのコンデンサは直列接続のため、同量の電荷量を蓄えます。蓄えられる電荷を Q［C］とすると

$Q=CV=12×10=120$［μC］

図２で充電されたコンデンサを並列に接続するので、全電荷量は 2Q＝240［μC］になります。

また、図２の合成静電容量を C₂［μF］とすると

$C_{ 2}=20+30＝50$［μF］

よって

$240=50×V$
$V=4.8$［V］

答え (3)

C₂ と C₃ の合成静電容量を C₂₃ とすると

$C_{ 23}=C_{ 2}+C_{ 3}$

C₁ の電荷量 Q₁［C］と C₂₃ の電荷量 Q₂₃［C］は等しいので

$Q_{ 3}=Q_{ 1}-Q_{ 2}=3×10^{-4}$［C］

C₂ と C₃ にかかる電圧 V［V］は

$V=\displaystyle\frac{Q_{ 2}}{C_{ 2}}=\displaystyle\frac{Q_{ 3}}{C_{ 3}}$

よって

$\begin{eqnarray}C_{ 3}&=&\displaystyle\frac{Q_{ 3}}{Q_{ 2}}×C_{ 2}\\\\&=&\displaystyle\frac{3×10^{ -4}}{0.5×10^{ -4}}×2.5×10^{ -6}\\\\&=&15×10^{ -6}［F］\end{eqnarray}$

答え (5)

図１の二つのコンデンサの合成静電容量をコンデンサ C_S とすると、

$\displaystyle\frac{1}{C_{ S}}=\displaystyle\frac{1}{4}+\displaystyle\frac{1}{2}=\displaystyle\frac{3}{4}$

$C_{ S}=\displaystyle\frac{4}{3}$[μF]

C_S に蓄えられる電荷量 Q_S は

$Q_{S}=C_{ S }V=\displaystyle\frac{4}{3}×10^{ -6 }×6=8×10^{ -6 }$［C］

図2の二つのコンデンサの合成静電容量をコンデンサ C_P とすると、

$C_{ P}=4+2=6$［μF］

このとき C₁ と C₂ のコンデンサは 8×10^-6［C］の電荷量を持っているので

$V=\displaystyle\frac{8×2×10^{ -6 }}{6×10^{ -6 }}=\frac{8}{3 }$［V］

答え (3)

図１の２つのコンデンサの合成静電容量を C_a、電荷量を Q_a とすると、

$C_a=C_{ 1}+C_{ 2}=4+2=6$［μF］

$Q_a=Q_{ 1}+Q_{ 2}=2+4=6$［μC］

よって図１の端子電圧 V₁［V］は

$V_{ 1}=\displaystyle\frac{Qa}{Ca }=\frac{6×10^{ -6 }}{6×10^{ -6 }}=1$［V］

図２の２つのコンデンサの合成静電容量を C_b、電荷量を Q_b とすると、

$C_b=C_{ 1}+C_{ 2}=4+2=6$［μF］

$Q_b=Q_{ 1}+Q_{ 2}=2-4=-2$［μC］

蓄えられている電荷の向きに注意が必要です。Q₂ の向きは端子電圧 V₂ と逆向きです。

よって図２の端子電圧 V₂［V］は

$V_{ 2}=\displaystyle\frac{Qb}{Cb }=\frac{-2×10^{ -6 }}{6×10^{ -6 }}=-\frac{1}{3}$［V］

$\displaystyle\left|\frac{V_{ 1}}{V_{ 2}}\right| ＝\displaystyle\left|\frac{1}{-\frac{1}{3}}\right|=3$

答え (3)

(a) 並列部分のコンデンサの合成静電容量は、6 [μF] になります。静電容量が 3［μF］のコンデンサに印加される電圧を V₁［V］、並列部分の電圧を V₂［V］とすると、

$Q=C_{ 1 }V_{ 1 }=3×10^{-6}V_{ 1 }$

$Q=C_{ 2}V_{ 2 }=6×10^{-6}V_{ 2 }$

$V_{ 1 }=2V_{ 1 }$ … (1)

一方、$V=V_{ 1}+V_{ 2 }$ の関係がありますので、

$300=V_{ 1}+V_{ 2 }$ … (2)

(1),(2)式より、

$V_{ 1 }=200$［V］
$V_{ 2 }=100$［V］

静電容量が 4［μF］のコンデンサに蓄えられる電荷 Q［C］は、

$Q=CV_{ 2 }=4×10^{-6}×100=4×10^{-4}$［C］

答え (5)

(b) 電圧と電界の関係式は、

$V=Ed$［V］…(3)

平行板コンデンサの静電容量 C［F］は、

$C=\displaystyle\frac{ ε S}{ d }$［F］…(4)

(3),(4)式より、

$E=\displaystyle\frac{ V}{ d }=\displaystyle\frac{ V}{ \displaystyle\frac{ ε S}{ C } }=\displaystyle\frac{ CV}{  ε S   }$

静電容量が 3 [μF] のコンデンサの極板間の電界の強さ E₁ は、

$E_1=\displaystyle\frac{ CV}{ ε S }=\displaystyle\frac{ 3×200}{ ε S }$

静電容量が 4 [μF] のコンデンサの極板間の電界の強さ E₂ は、

$E_2=\displaystyle\frac{ CV}{ ε S }=\displaystyle\frac{ 4×100}{ ε S }$

それぞれのコンデンサの極板の形状及び面積は同じであり、極板間には同一の誘電体が満たされているので、

$\displaystyle\frac{E_1}{E_2}=\displaystyle\frac{600}{400}=\displaystyle\frac{3}{2}$

答え (4)

重ね合わせの理で解きます。コンデンサの直列接続時の分圧は、抵抗の並列接続の電流分配に同じで逆比になります。

20V の電源を残したとき

$V_2=20×\displaystyle\frac{ 10 }{ 10+(20+10) }=5$ [V]

a点から見たb点の電位は +5 [V]

10V の電源を残したとき

$V_1=10 ×\displaystyle\frac { 10 }{ 10+(20+10) }=2.5$ [V]

a点から見たb点の電位は-2.5 [V]

それぞれの回路を重ね合わせてa点から見たb点の電位は、

5 [V] -2.5 [V] =2.5 [V]

答え (3)

$C_2$、$C_3$、$C_4$ のコンデンサの合成静電容量を $C_{234}$ とすると、

$\begin{eqnarray}C_{234}&=&C_2+\displaystyle \frac{C_3C_4}{C_3+C_4}\\\\&=&900+\displaystyle \frac{100×900}{100+900}=990μF\end{eqnarray}$

コンデンサ $C_2$ の両端の電圧を $V_2$［V］とすると、

$C_1(V_{in}-V_2)=C_{234}V_2$
$10(V_{in}-V_2)=990V_2$

$V_2=\displaystyle \frac{V_{in}}{100}$

$C_3(V_2-V_{out})=C_4V_{out}$

$100(V_2-V_{out})=900V_{out}$

$100(\displaystyle \frac{V_{in}}{100}-V_{out})=900V_{out}$

$V_{in}=1000V_{out}$

答え (1)

(a) スターデルタ変換で解きます。図１を変換すると、次の図のようになります。

$3×3＝9.0$  [μF] 

答え (5)

(b) 並列部分の合成静電容量 $C_p$ は、

$C_p=\displaystyle\frac{9×9}{9+9}+\displaystyle\frac{18×9}{18+9}=10.5$ [μF] 

合成静電容量 $C_o$ は、

$C_o= \displaystyle\frac {10.5×9}{10.5+9}≒4.8$ [μF] 

答え (3)

並列部分を合成します。

直列に並んだ2つのコンデンサに蓄えられる電荷 $Q_1$ と $Q_2$ は等しいので、

$C_1V_1=C_2V_2$

$V_1=2V_2$

a－b間に加えることができる最大の電圧 V_m の値は、

$V_m=V_1+V_2=500+250=750$ [V] 

答え (3)