三相交流の電力と力率

静電容量 $C$［F］のコンデンサをΔ→Y変換すると、$3C$［F］となります。相電圧を $\dot{E}$［V］とし、Y接続した一相分について、各素子に流れる電流をベクトル図で表示します。

図より、負荷の力率 $cosθ$ は、

$\begin{eqnarray}cosθ=\displaystyle\frac{I_R}{I}&=&\displaystyle\frac{I_R}{\sqrt{I_R^2+I_C^2}}\\\\&=&\displaystyle\frac{\displaystyle\frac{E}{R}}{\sqrt{(\displaystyle\frac{E}{R})^2+(3ωCE)^2}}\\\\&=&\displaystyle\frac{\displaystyle\frac{1}{R}}{\sqrt{(\displaystyle\frac{1}{R})^2+(3ωCR)^2}}\\\\&=&\displaystyle\frac{1}{\sqrt{(1+(3ωC)^2}}\end{eqnarray}$

答え (1)

線電流を $I_l$［A］とすると、

$I_l=\displaystyle\frac{\displaystyle\frac{V}{\sqrt{3}}}{Z}=\displaystyle\frac{\displaystyle\frac{210}{\sqrt{3}}}{14}=\displaystyle\frac{15}{\sqrt{3}}$［A］

$cosθ=\displaystyle\frac{\sqrt{3}}{2}$ ですので、全消費電力 $P$［kW］は、

$\begin{eqnarray}P&=&\sqrt{3}V_lI_lcosθ\\\\&=&\sqrt{3}×210×\displaystyle\frac{15}{\sqrt{3}}×\displaystyle\frac{\sqrt{3}}{2}\\\\&=&2.73［kW］\end{eqnarray}$

答え (3)

(a) Ｙ回路の相電圧を $V_p$［V］、誘導性リアクタンスを $X_L$［Ω］、相電流を $I_P$［A］とすると、

$V_p=\displaystyle\frac{200}{\sqrt{3}}$［V］

$X_L=2πfL=2π×50×12.75×10^{-3}=4$［Ω］

$I_P=\displaystyle\frac{V_p}{Z}=\displaystyle\frac{\displaystyle\frac{200}{\sqrt{3}}}{\sqrt{3^2+4^2}}=23.1$［A］

答え (4)

(b) 無効力率は、

$sinθ=\displaystyle\frac{X_L}{Z}=\displaystyle\frac{4}{5}＝0.8$

ですので、遅れ無効電流を $I_Q$［A］とすると、

$I_Q=23.1×0.8=18.5$［A］

この遅れ無効電流を改善するために、コンデンサ回路から進み無効電流が流れます。コンデンサ回路の線電流を $I_C$［A］、コンデンサの容量性リアクタンスを $X_C$［Ω］とすると、

$I_C=\displaystyle\frac{18.5}{\sqrt{3}}$［A］

$X_C=\displaystyle\frac{V_p}{I_C}=\displaystyle\frac{200}{\displaystyle\frac{18.5}{\sqrt{3}}}=18.7$［Ω］

$X_C=\displaystyle\frac{1}{ωC}=\displaystyle\frac{1}{2πfC}$［Ω］ですので、

$\displaystyle\frac{1}{2πfC}=18.7$［Ω］

$C=1.7×10^{-4}$［F］

答え (4)

Δ結線は、相電圧＝線間電圧ですので、力率 $cosθ$ は、

$P=\sqrt{3}V_lI_lcosθ$［W］
$200=\sqrt{3}×10×20×cosθ$
$cosθ=\displaystyle\frac{1}{\sqrt{3}}$

線電流の大きさを $I_l$［A］、相電流の大きさを $I_p$［A］とすると、

$I_p=\displaystyle\frac{I_l}{\sqrt{3}}=\displaystyle\frac{20}{\sqrt{3}}$［A］

負荷のインピーダンス $Z$［Ω］より、抵抗 $R$［Ω］と誘導性リアクタンス $X$［Ω］を導きます。

$Z=\displaystyle\frac{V_p}{I_p}=\displaystyle\frac{10×10^3}{\displaystyle\frac{20}{\sqrt{3}}}=\displaystyle\frac{\sqrt{3}}{2}×10^3$［Ω］

$R=Zcosθ=\displaystyle\frac{\sqrt{3}}{2}×10^3×\displaystyle\frac{1}{\sqrt{3}}=500$［Ω］

$X=Zsinθ=\displaystyle\frac{\sqrt{3}}{2}×10^3×\displaystyle\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{3}}=500\sqrt{2}$［Ω］

答え (4)

(a) 相電圧を $V_p$［V］とすると、 $V_p=\displaystyle\frac{210}{\sqrt{3}}$［V］ですので、１相当たりのインピーダンス $Z$［Ω］は、

$Z=\displaystyle\frac{V_p}{I}=\displaystyle\frac{\displaystyle\frac{210}{\sqrt{3}}}{\displaystyle\frac{14}{\sqrt{3}}}=15［Ω］$

負荷の誘導性リアクタンス $X$［Ω］は、

$X=Zsinθ=15×0.6=9$［Ω］

答え (3)

(b) 電源側を、Δ⇒Yに変換すると、$E_Δ=\sqrt{3}E_Y=200\sqrt{3}$［V］です。$E_Δ$［V］は、相電圧となりますので、これを $V_p$［V］とすると、一相分の電力 $p$［W］は、

$\begin{eqnarray}p&=&V_pI_pcosθ\\\\&=&\displaystyle\frac{{V_p}^2}{Z}cosθ\\\\&=&\displaystyle\frac{{(200\sqrt{3})}^2}{15}×0.8\\\\&=&6.4×10^3［W］\end{eqnarray}$

したがって、三相の電力 $P$［W］は、

$P=3p=3×6.4×10^3=19.2×10^3$［W］

答え (4)

(a) 電力のベクトル図を示します。

上記３式の関係は次のように表すことができますので、

$S=\sqrt{P^2+Q^2}=\sqrt{2.4^2+3.2^2}=4.0$［kVA］

したがって、

$S=\sqrt{3}V_lI_l$
$4.0×10^3=\sqrt{3}×200×I_l$
$I_l=11.5$［A］

答え (5)

(b) コンデンサの容量は３個で $3ωCV^2$［var］です。これが、無効電力 $Q=3.2$［kvar］に等しいときに力率が１になりますので、

$3ωCV^2=3.2×10^3$
$3×2×π×50×C×200^2=3.2×10^3$
$C=84.6×10^{-6}$［F］

答え (3)

(a) 電流 $I_1$［A］，$I_2$［A］は、

$I_1=\displaystyle\frac{\displaystyle\frac{200}{\sqrt{3}}}{\sqrt{6^2+8^2}}=\displaystyle\frac{20}{\sqrt{3}}$［A］

$I_2=\displaystyle\frac{200}{r}$［A］

題意より

$I_1=I_2$［A］

$\displaystyle\frac{20}{\sqrt{3}}=\displaystyle\frac{200}{r}$

$r=17.3$［Ω］

答え (4)

(b) Y部分とΔ部分の電力を分けて考えます。どちらも電力は $P=3V_pI_pcosθ$［W］で求まることができます。

まず、Y結線負荷の部分は、相電圧 $V_p=\displaystyle\frac{200}{\sqrt{3}}$［V］、相電流 $I_p=I_1$ です。インピーダンスは $Z=\sqrt{6^2+8^2}＝10$［Ω］なので、力率は $cosθ=0.6$ となります。三相電力 $P_Y$［W］は、

$\begin{eqnarray}P_Y&=&3V_pI_pcosθ\\\\&=&3×\displaystyle\frac{200}{\sqrt{3}}×\displaystyle\frac{20}{\sqrt{3}}×0.6\\\\&=&2400［W］\end{eqnarray}$

Δ結線負荷の部分ですが、相電圧は $V_p=線間電圧$ で、相電流 $I_p=I_2$ です。力率は $cosθ=1$ ですので、

$\begin{eqnarray}P_Δ&=&3V_pI_pcosθ\\\\&=&3×200×\displaystyle\frac{200}{r}×1\\\\&=&6936［W］\end{eqnarray}$

したがって、求める平衡三相負荷が消費する電力 $P$［kW］は、

$P=P_Y+P_Δ=2400+6936≒9.3$［kW］

答え (4)

三相負荷の消費電力 $P$［W］は、$P=3V_pI_pcosθ$［W］です。したがって、(4)の記述が誤りです。

答え (4)

(a) Δ回路を Y 回路に変換すると、次のような等価回路になります。

「端子a、cに 100［V］の単相交流電源を接続したところ、回路の消費電力は 200［W］であった」と、ありますので、ｂ相は無関係となります。

ａ－ｃ間の合成抵抗は $\displaystyle\frac{5R}{3}$ ですので、ａ－ｃ間の消費電力を $P$［W］とすると、

$P=\displaystyle\frac{100^2}{\displaystyle\frac{5R}{3}}=200$

$R=30$［Ω］

答え (3)

(b) 端子a、b、cに線間電圧 200［V］を加えた時の相電圧 $V_p$［V］は、

$V_p=\displaystyle\frac{200}{\sqrt{3}}$

一相当たりの抵抗は、

$\displaystyle\frac{5R}{6}=\displaystyle\frac{5×30}{6}=25$［Ω］

回路で、消費される電力 $P$［W］は、

$P=3×\displaystyle\frac{(\displaystyle\frac{200}{\sqrt{3}})^2}{25}=1600$［W］

答え (4)

(a) コンデンサをΔ⇒Ｙ変換したときの、一相分の等価回路を示します。

回路のインピーダンスを $\dot{Z}$［Ω］とすると、

$\begin{eqnarray}\dot{Z}&=&jωL+\displaystyle\frac{R×\displaystyle\frac{1}{jω3C}}{R+\displaystyle\frac{1}{jω3C}}\\\\&=&jωL+\displaystyle\frac{R}{1+jω3CR}\\\\&=&jωL+\displaystyle\frac{R(1-jω3CR)}{(1+jω3CR)(1-jω3CR)}\\\\&=&jωL+\displaystyle\frac{R(1-jω3CR)}{1+(ω3CR)^2}\\\\&=&\displaystyle\frac{R}{1+9(ωCR)^2}+j\left(ωL-\displaystyle\frac{3ωCR^2}{1+9(ωCR)^2}\right)\end{eqnarray}$

三相電源からみた平衡三相負荷の力率が１になるのは、虚数部が０の時ですので、

$ωL-\displaystyle\frac{3ωCR^2}{1+9(ωCR)^2}=0$

$L=\displaystyle\frac{3CR^2}{1+9(ωCR)^2}$

答え (2)

(b) コンデンサをΔ⇒Ｙ変換したときのコンデンサと抵抗のインピーダンスを $\dot{Z_C}$［Ω］とすると、

$\dot{Z_C}=\displaystyle\frac{R×\displaystyle\frac{1}{jω3C}}{R+\displaystyle\frac{1}{jω3C}}=\displaystyle\frac{R}{1+jω3CR}$［Ω］

$Z_C=\displaystyle\frac{R}{\sqrt{1+9(ωCR)^2}}$［Ω］

平衡三相負荷の力率が１になったときの相電流 $I_p$［A］は、

$\begin{eqnarray}I_p&=&\displaystyle\frac{\displaystyle\frac{V}{\sqrt{3}}}{Z}\\\\&=&\displaystyle\frac{\displaystyle\frac{V}{\sqrt{3}}}{\displaystyle\frac{R}{1+9(ωCR)^2}}\\\\&=&\displaystyle\frac{V}{\sqrt{3}}\displaystyle\frac{1+9(ωCR)^2}{R}\end{eqnarray}$

$Z_C$ の端子電圧 $E_C$［V］は、

$\begin{eqnarray}E_C&=&I_pZ_C\\\\&=&\displaystyle\frac{V}{\sqrt{3}}\displaystyle\frac{1+9(ωCR)^2}{R}\displaystyle\frac{R}{\sqrt{1+9(ωCR)^2}}\\\\&=&\displaystyle\frac{V\sqrt{1+9(ωCR)^2}}{\sqrt{3}}［V］\end{eqnarray}$

したがって、コンデンサをＹ⇒Δに戻したときの端子電圧は、

$\sqrt{3}E_C=V\sqrt{1+9(ωCR)^2}$

答え (2)

(a) コイルの誘導性リアクタンスを $X_L$［Ω］とすると、

$X_L=ωL=2×π×50×7.96×10^{-3}=2.5$［Ω］

一相分のインピーダンスの大きさを $Z$［Ω］、力率を $cosθ$ とすると、

$Z=\sqrt{6^2+2.5^2}=6.5$［Ω］

$cosθ=\displaystyle\frac{R}{Z}=\displaystyle\frac{6}{6.5}$

電源源側を、Δ⇒Y変換すると、相電圧は、$E_Y=\displaystyle \frac{E_Δ}{\sqrt{3}}$ です。相電流を $I_p$［A］とすると、

$I_p=\displaystyle\frac{E_Y}{Z}=\displaystyle\frac{\displaystyle\frac{200}{\sqrt{3}}}{6.5}=\displaystyle\frac{200}{\sqrt{3}×6.5}$［A］

三相電力は $P$［W］は、

$\begin{eqnarray}P&=&\sqrt{3}VIcosθ\\\\&=&\sqrt{3}×200×\displaystyle\frac{200}{\sqrt{3}×6.5}×\displaystyle\frac{6}{6.5}\\\\&=&5680［W］\end{eqnarray}$

答え (4)

(b) 三相無効電力を $Q$［var］とすると、

$\begin{eqnarray}Q&=&\sqrt{3}VIsinθ\\\\&=&\sqrt{3}×200×\displaystyle\frac{200}{\sqrt{3}×6.5}×\displaystyle\frac{2.5}{6.5}\\\\&=&2367［var］\end{eqnarray}$

コンデンサの三相無効電力 $Q_C$ は、Δ回路の一相当たりの3倍ですので、

$\begin{eqnarray}Q_C&=&Z_CV^2×3\\\\&=&ωCV^2×3\\\\&=&2×π×50×C×200^2×3\end{eqnarray}$

$Q=Q_C$ のとき力率が１になりますので、

$2367=2×π×50×C×200^2×3$

$C=6.28×10^{-5}$［F］

答え (1)

ベクトル図で示します。

線電流 $\dot{I_C}$ は、線間電圧 $\dot{V}_{ca}$ より30°遅れとなりますので、

$\begin{eqnarray}P&=&200×1.73×cos30°\\\\&=&200×1.73×\displaystyle\frac{\sqrt{3}}{2}\\\\&≒&300［W］\end{eqnarray}$

答え (2)

(a) 抵抗部分に流れる電流を $I_R$［A］とすると、相電圧 $V_p$ は $V_p=\displaystyle\frac{200}{\sqrt{3}}$［V］ですので、

$I_R=\displaystyle\frac{\displaystyle\frac{200}{\sqrt{3}}}{1}=\displaystyle\frac{200}{\sqrt{3}}$

有効電力 $P$［W］は、

$P=3V_pI_R=3×\displaystyle\frac{200}{\sqrt{3}}×\displaystyle\frac{200}{\sqrt{3}}=40$［kW］

コイル部分に流れる電流を $I_L$［A］とすると、

$I_L=\displaystyle\frac{\displaystyle\frac{200}{\sqrt{3}}}{\displaystyle\frac{4}{3}}=\displaystyle\frac{150}{\sqrt{3}}$

無効電力 $Q$［W］は、

$Q=3V_pI_L=3×\displaystyle\frac{200}{\sqrt{3}}×\displaystyle\frac{150}{\sqrt{3}}=30$［kvar］

答え (1)

(b) 容量 $C$［F］のコンデンサをΔ→Y変換すると、$3C$［F］となります。電源からみた有効電力と無効電力が図１の場合と同じ値ですので、

$\displaystyle\frac{1}{3ωC}=\displaystyle\frac{4}{3}$

$C=\displaystyle\frac{1}{2π×50×4}=796$ [μF]

答え (1)

(a) 電源の線間電圧 $e_a＝100\sqrt{6}sin(100πt)$［V］は、瞬時式を表しています。実効値 $E_{a}$［V］は $E_{a}=100\sqrt{3}$ 、周波数は $50$ となります。相電圧を $E_{Ya}$［V］とすると、

$E_{Ya}=\displaystyle\frac{E_{a}}{\sqrt{3}}=100$［V］

負荷一相分の誘導性リアクタンスを $X_L$［Ω］とすると、

$X_L=ωL=2π×50×16×10^{-3}=5$［Ω］

負荷一相分のインピーダンスを $Z$［Ω］とすると、

$Z=\sqrt{5^2+5^2}=5\sqrt{2}$

相電流を $ I_a$［A］とすると、

$ I_a=\displaystyle\frac{E_{Ya}}{Z}=\displaystyle\frac{100}{5\sqrt{2}}=10\sqrt{2}$［A］

三相電力 $P$［kW］は、

$P=3I_a^2R=3×(10\sqrt{2})^2×5=3$［kW］

答え (2)

(b) 相電圧を $E_{Ya}$［V］を基準にしたベクトル図と、コンデンサをΔ⇒Y変換したときの、一相分の等価回路を示します。

$\dot{I}_{RL}=\displaystyle\frac{100}{5+j5}=10-j10$［A］

$\dot{E}_{Ya}$ と $\dot{I}_a$ が同相になるには、$\dot{I}_{RL}$ の虚数部はコンデンサで打ち消さなければなりません。したがって、$\dot{I}_c=j10$ になります。コンデンサの容量性リアクタンスを $X_L$［Ω］とすると、

$X_C=\displaystyle\frac{E_{YC}}{I_C}=10$［Ω］

$X_C=\displaystyle\frac{1}{100π×3C}=10$［Ω］

$C=\displaystyle\frac{1}{100π×3×10}=1.1×10^{-4}$［F］

答え (2)

(a)　コイルの誘導性リアクタンスを $X_L$［Ω］、1相あたりのインピーダンスを $Z$［Ω］とすると、

$X_L=2πfL=2×π×50×5×10^{-3}≒1.57$［Ω］

$Z=\sqrt{R^2+{X_L}^2}=\sqrt{5^2+1.57^2}≒5.24$［Ω］

力率 $cosθ$ は、

$cosθ=\displaystyle\frac{5}{5.24}≒0.95$

相電圧を $E$［V］とすると、線間電圧との関係は $E=\displaystyle\frac{V}{\sqrt{3}}$ ですので、回路に流れる電流の大きさを $I$［A］とすると、

$I=\displaystyle\frac{E}{Z}=\displaystyle\frac{\displaystyle\frac{200}{\sqrt{3}}}{5.24}≒22.04$［A］

三相負荷全体の有効電力を $P$［W］とすると、

$P=3RI^2=3×5×22.04^2≒7.28×10^3$［W］

答え（3）

(ｂ)　スイッチSを閉じてコンデンサ回路を Δ⇒Y 変換し、コイルに流れる電流を $I_L$［A］，コンデンサに流れる電流を $I_C$［A］とすると、

$I_L=\displaystyle\frac{\displaystyle\frac{V}{\sqrt{3}}}{\sqrt{R^2+(ωL)^2}}=\displaystyle\frac{V}{\sqrt{3(R^2+ω^2L^2)}}$［A］

$I_C=\displaystyle\frac{\displaystyle\frac{V}{\sqrt{3}}}{\displaystyle\frac{1}{ω(3C)}}=\displaystyle\frac{3ωCV}{\sqrt{3}}=\sqrt{3}ωCV$［A］

スイッチSを開いた状態の無効電力を $Q_L$［var］，コイルの誘導性リアクタンスを $X_L$［Ω］とすると、

$Q_L=3X_L{I_L}^2$［var］

三相分のコンデンサの無効電力を $Q_C$［var］，コンデンサの容量性リアクタンスを $X_C$［Ω］とすると、

$Q_C=3X_C{I_C}^2$［var］

スイッチSを閉じてコンデンサを接続したとき、電源からみた負荷側の力率が1になったので、回路全体の無効電力は $0$ になったことになるので、

$Q_L=Q_C$

$3X_L{I_L}^2=3X_C{I_C}^2$

$3ωL\left(\displaystyle\frac{V}{\sqrt{3(R^2+ω^2L^2)}}\right)^2=3\displaystyle\frac{1}{ω(3C)}(\sqrt{3}ωCV)^2$

$\displaystyle\frac{ωLV^2}{R^2+ω^2L^2}=\displaystyle\frac{3ω^2C^2V^2}{ωC}$

$\displaystyle\frac{L}{R^2+ω^2L^2}=3C$

$C=\displaystyle\frac{L}{3(R^2+ω^2L^2)}$

答え（4）