直流回路の消費電力【電験3種-理論】

電験3種の理論で出題される直流回路の消費電力について、初心者の方でも解りやすいように、基礎から解説しています。また、電験3種の試験で、実際に出題された過去問題も解説しています。

電力とは

電流が1秒当たりにする仕事のことを電力(消費電力)といいます。電流がする仕事の仕事率のことです。
電力は、仕事率と同じように記号に $P$ で表します。単位は[W] ワット を用います。

電力は、「電流×電圧」で求めることができます。オームの法則 $V=RI$ を用いると、次のように表すことができます。

電力の公式

$P =VI=RI^2=\displaystyle \frac{ V^2 }{ R}$[W]

電験3種-理論(直流回路)過去問題

1998年(平成10年)問11

二つの抵抗 $R_1$[Ω]及び $R_2$[Ω]を図1のように並列に接続した場合の全消費電力は、これら二つの抵抗を図2にように直列に接続した場合の全消費電力の 6 倍であった。このとき、 $R_2$ の値として、正しいものは次のうちどれか。ただし、$R_1=1$[Ω]、$R_2>R_1$ とし、電源 $E$ の内部抵抗は無視するものとする。

1999年問11

(1)1.1 (2)1.4 (3)2.0 (4)3.7 (5)4.3

1998年(平成10年)問11 過去問解説

図1の回路の消費電力を $P_1$[W]、図2の回路の消費電力を $P_2$[W]とすると、$P=\displaystyle \frac{ E^2 }{ R}$ より

$P_1=\displaystyle \frac{ E^2 }{ \displaystyle \frac{ R_1R_2 }{ R_1+R_2}}=\displaystyle \frac{ (R_1+R_2)E^2 }{ R_1R_2 }$

$P_2=\displaystyle \frac{ E^2 }{ R_1+R_2}$

題意より、$P_1=6P_2$ なので、

$\displaystyle \frac{ (R_1+R_2)E^2 }{ R_1R_2 }=\displaystyle \frac{ 6E^2 }{ R_1+R_2}$

$(R_1+R_2)^2 =6R_1R_2$

$R_1=1$[Ω]なので、

$(1+R_2)^2 =6R_2$
$R_2^2-4R_2+1=0$

$R_2=\displaystyle \frac{ 4±\sqrt{ 16-4 } }{ 2}=\displaystyle \frac{ 4±2\sqrt{ 3 } }{ 2}=2±\sqrt{ 3 }$

$R_2>R_1$ なので、$R_2=2+\sqrt{ 3 }≒3.7$[Ω]

答え(4)

1999年(平成11年)問6

図の $L$ 及び $C$ を含む直流回路において、$L$ 及び $C$ に蓄えられるエネルギーの合計値[J]として、正しいのは次のうちどれか。

1999年問6

(1)6 (2)30 (3)46 (4)54 (5)80

1999年(平成11年)問6 過去問解説

電源が直流ですので、定常状態では $L$ は短絡状態、$C$ は開放状態になります。回路に流れる電流を $I$[A]、2[Ω]の抵抗に加わる電圧を $V$[V]とすると、オームの法則と分圧の法則より

$I=\displaystyle \frac{ 6}{ 1+2}=2$[A]

$V=\displaystyle \frac{ 2}{ 1+2}×6=4$[V]

$L$ 及び $C$ に蓄えられるエネルギーをそれぞれ、$W_L$,$W_C$[J]とすると、

$W_L=\displaystyle \frac{ 1}{ 2}LI^2=\displaystyle \frac{ 1}{ 2}×3×2^2=6$[J]

$W_C=\displaystyle \frac{ 1}{ 2}LV^2=\displaystyle \frac{ 1}{ 2}×5×4^2=40$[J]

したがって、$L$ 及び $C$ に蓄えられるエネルギーの合計値 $W$[J]は、

$W=W_L+W_C=46$[J]

答え(3)

2002年(平成14年)問12

図1の抵抗回路において、抵抗 $R$[Ω]の消費する電力は 72[W]である。このときの pq 端子の電圧 $V$[V]をもとめる。次の(a)及び(b)に答よ。

2002年問12

(a) 図1の pq 端子から左側を見た回路は図2に示すように、電圧源 $E_0$[V]と内部抵抗 $R_0$[Ω]の電源回路に置き換えることができる。$E_0$[V]と $R_0$[Ω]の値として、正しいのは次のうちどれか。

(1)$E_0=40$[V],$R_0=6$[Ω]
(2)$E_0=60$[V],$R_0=12$[Ω]
(3)$E_0=100$[V],$R_0=20$[Ω]
(4)$E_0=60$[V],$R_0=30$[Ω]
(5)$E_0=40$[V],$R_0=50$[Ω]

(b) 抵抗 $R$[Ω]が 72[W]を消費するときの $R$[Ω]の値には二つある。それぞれに対応した電圧 $V$[V]のうち、高い方の電圧 $V$[V]の値として正しいのはどれか。

(1)36  (2)50 (3)72 (4)84  (5)100

2002年(平成14年)問12 過去問解説

テブナンの定理を利用します。

(a) 電圧源は短絡し、端子 pq から左側の回路を見た合成抵抗 $R_0$[Ω]は、

$R_0=\displaystyle \frac{ 20×30}{ 20+30}=12$[Ω]

端子 pq 間を開放したときの端子間電圧 $E_0$[V]は、分圧の法則より

$E_0=\displaystyle \frac{ 100}{ 20+30}×30=60$[V]

(b) 抵抗 $R$ に流れる電流を $I$[A]とすると、テブナンの定理より、

$I=\displaystyle \frac{ V_0 }{ R_0+R }=\displaystyle \frac{ 60 }{ 12+R }$

消費電力は $P=RI^2$[W]で表されます。題意より、$P=72$[W]なので、

$R×\displaystyle \frac{ 60 ^2}{ (12+R)^2 }=72$

この式を $R$ について解きます。

$R^2+24R+144=50R$
$R^2-26R+144=0$
$(R-8)(R-18)=0$
$R=8,18$ [Ω]

$R=8$[Ω]のときは $I=3$[A]で、そのときの電圧は 24[V]
$R=18$[Ω]のときは $I=2$[A]で、そのときの電圧は 36[V]

高い方の電圧は 36[V]

答え(a)-(2)、(b)ー(1)

2007年(平成19年)問5

起電力が $E$[V]で内部抵抗が $r$[Ω]の電池がある。この電池に抵抗 $R_1$[Ω]と可変抵抗 $R_2$[Ω]を並列につないだとき、抵抗 $R_2$[Ω]から発生するジュール熱が最大となるときの抵抗 $R_2$[Ω]の値を示す式として、正しいのは次のうちどれか。

(1)$R_2=r$ (2)$R_2=R_1$ (3)$R_2=\displaystyle \frac{ rR_1}{ (r-R) }$ (4)$R_2=\displaystyle \frac{ rR_1}{ (R_1-r) }$  (5)$R_2=\displaystyle \frac{ rR_1}{ (r+R_1) }$

2007年(平成19年)問5 過去問解説

2007年問5

図に示す回路で、テブナンの定理を利用します。電圧源は短絡し、端子 ab から左側の回路を見た合成抵抗 $R_0$[Ω]は、

$R_0=\displaystyle \frac{ R_1r}{ R_1+r}$[Ω]

端子 ab 間を開放したときの端子間電圧 $E_{ab}$[V]は、分圧の法則より

$E_{ab}=\displaystyle \frac{ R_1}{ R_1+r}×E$[V]

抵抗 $R_2$ に流れる電流を $I$[A]とすると、テブナンの定理より、

$\begin{eqnarray}I&=&\displaystyle \frac{ E_{ab} }{ R_0+R_2 }\\\\&=&\displaystyle \frac{ \displaystyle \frac{ ER_1}{ R_1+r} }{ \displaystyle \frac{ R_1r}{ R_1+r}+R_2 }\\\\&=&\displaystyle \frac{ ER_1}{R_1r+ R_2(R_1+r) }\end{eqnarray}$

可変抵抗 $R_2$[Ω]の消費電力 $P$[W]は、

$P=R_2I^2=R_2\left(\displaystyle \frac{ ER_1}{ R_1r+ R_2(R_1+r) }\right)^2$

消費電力 $P$[W]が最大になるときの条件は、分母が最小になるときです。最小の定理より、

$R_1r= R_2(R_1+r) $

$R_2=\displaystyle \frac{ rR_1}{ (r+R_1)}$

答え(5)

最小の定理
$a、b$ の2つの数があって、その積 $ab$ が一定であれば、$a=b$ のとき、和 $a+b$ が最小となります。

最大の定理
$a、b$ の2つの数があって、その和 $a+b$ が一定であれば、$a=b$ のとき、積 $ab$ は最大となります。

2010年(平成22年)問5

図の直流回路において、12[Ω]の抵抗の消費電力が 27[W]である。このとき、抵抗 $R$[Ω]の値として、正しいのは次のうちどれか。

2010年問5

(1)4.5 (2)7.5 (3)8.6 (4)12 (5)20

2010年(平成22年)問5 過去問解説

消費電力は $P=RI^2$[W]で表されます。この式を変形すると、

$I=\displaystyle \sqrt{ \frac{ P}{ R}}$

12[Ω]の抵抗に流れる電流を $I$[A]とすると、

$I=\displaystyle \sqrt{ \frac{ 27}{ 12}}=1.5$[A]

回路全体の合成抵抗を $R_Z$[Ω]とすると、

$R_Z=30+\displaystyle \frac{ 12R}{12+R}$

12[Ω]の抵抗に流れる電流を $I$[A]を 抵抗 $R$ で表します。分流の法則より、

$\begin{eqnarray}I&=&\displaystyle \frac{ R}{12+R}×\displaystyle \frac{ 90}{R_Z}\\\\&=&\displaystyle \frac{ R}{12+R}×\displaystyle \frac{ 90}{30+\displaystyle \frac{ 12R}{12+R}}\\\\&=&\displaystyle \frac{ 90R}{360+42R}\\\\&=&1.5[A]\end{eqnarray}$

$27R=540$
$R=20$[Ω]

答え(5)

2013年(平成25年)問6

図の直流回路において、抵抗 $R=10$[Ω]で消費される電力[W]の値として、最も近いものを次の(1)~(5)のうちから一つ選べ。

2013年問6

(1)0.28 (2)1.89 (3)3.79 (4)5.36 (5)7.62

2013年(平成25年)問6 過去問解説

テブナンの定理を利用します。端子 ab 間を開放したときの端子間電圧 $V_0$[V]を、図に示す $V_a$[V]と $V_b$[V]から導きます。

分圧の法則より、

$V_a=\displaystyle \frac{ 40}{40+40}×60=30$ [V]
$V_b=\displaystyle \frac{ 80}{60+60}×60=40$ [V]

$V_0=V_b-V_a=40-30=10$[V]

電圧源を短絡し、端子 ab から見た合成抵抗を $R_0$[Ω]とします。等価回路図は次のようになります。

2013問6解答

$R_0=\displaystyle \frac{ 40}{2}+\displaystyle \frac{ 60}{2}=50$[Ω]

抵抗 $R$ に流れる電流を $I$[A]とすると、テブナンの定理より、

$I=\displaystyle \frac{ V_0 }{ R_0+R }=\displaystyle \frac{ 10 }{ 50+10 }=\displaystyle \frac{ 1 }{ 6 }$[A]

抵抗 $R$ の消費電力は $P$[W]は、

$P=RI^2=10×\left(\displaystyle \frac{ 1 }{ 6 }\right)^2≒0.28$[W]

答え(1)

2014年(平成26年)問7

図に示す直流回路において、抵抗 $R_1=5$ Ω で消費される電力は抵抗 $R_3=15$ Ω で消費される電力の何倍となるか。その倍率として、最も近い値を次の(1)~(5)のうちから一つ選べ。

(1)0.9 (2)1.2 (3)1.5 (4)1.8 (5)2.1

2014年(平成26年)問7 過去問解説

抵抗 $R_1$ に流れる電流を $I$[A]、抵抗 $R_3$ に流れる電流を $I_3$[A]とすると、分流の法則 より

$I_3=\displaystyle \frac{10I }{ 10+15 }=\displaystyle \frac{2I }{ 5 }$

消費電力は $P=RI^2$[W]で表されます。抵抗 $R_1$ で消費される電力を $P_1$[W]、抵抗 $R_3$ で消費される電力を $P_3$[W]とすると、消費される電力比 $\displaystyle \frac{P_1 }{ P_3 } $ は、

$\displaystyle \frac{P_1 }{ P_3 } =\displaystyle \frac{5I^2 }{ 15×\left(\displaystyle \frac{2I }{ 5 }\right)^2 }=\displaystyle \frac{25 }{ 12 } ≒2.08$

答え(5)

2016年(平成28年)問5

図のように、内部抵抗 $r=0.1$ Ω、起電力 $E=9$ V の電池4個を並列に接続した電源に抵抗 $R=0.5$ Ω の負荷を接続した回路がある。この回路において、抵抗 $R=0.5$ Ω で消費される電力の値[W]として、最も近いものを次の(1)~(5)のうちから一つ選べ。

2016年問5

(1)50 (2)147 (3)253 (4)820 (5)4050

2016年(平成28年)問5 過去問解説

テブナンの定理を利用します。

2016年問5解答

電圧源は短絡し、端子 ab から下側を見た合成抵抗 $R_0$[Ω]は、

$R_0=\displaystyle \frac{ r}{4}=0.025$[Ω]

端子 ab 間を開放したときの端子間電圧 $V_0$[V]を求めます。

2016問5解答

この回路には、電位差がないので電流は流れません。つまり、電源電圧 $E=9$[V]が、端子 ab 間の電圧になります。$V_0=9$[V]

抵抗 $R$ に流れる電流を $I$[A]とすると、テブナンの定理より、

$I=\displaystyle \frac{ V_0 }{ R_0+R }=\displaystyle \frac{ 9 }{ 0.025+0.5 }≒17.14$[A]

抵抗 $R$ で消費される電力を $P$[W]とすると、

$P=RI^2=0.5×17.14^2≒147$[W]

答え(2)

理論電験3種
cubeをフォローする
基礎からわかる電気技術者の知識と資格

コメント