直流回路の消費電力

図1の回路の消費電力を $P_1$［W］、図2の回路の消費電力を $P_2$［W］とすると、$P=\displaystyle \frac{ E^2 }{ R}$ より

$P_1=\displaystyle \frac{ E^2 }{ \displaystyle \frac{ R_1R_2 }{ R_1+R_2}}=\displaystyle \frac{ (R_1+R_2)E^2 }{ R_1R_2 }$

$P_2=\displaystyle \frac{ E^2 }{ R_1+R_2}$

題意より、$P_1=6P_2$ なので、

$\displaystyle \frac{ (R_1+R_2)E^2 }{ R_1R_2 }=\displaystyle \frac{ 6E^2 }{ R_1+R_2}$

$(R_1+R_2)^2 =6R_1R_2$

$R_1=1$［Ω］なので、

$(1+R_2)^2 =6R_2$
$R_2^2-4R_2+1=0$

$R_2=\displaystyle \frac{ 4±\sqrt{ 16-4 } }{ 2}=\displaystyle \frac{ 4±2\sqrt{ 3 } }{ 2}=2±\sqrt{ 3 }$

$R_2>R_1$ なので、$R_2=2+\sqrt{ 3 }≒3.7$［Ω］

答え (4)

電源が直流ですので、定常状態では $L$ は短絡状態、$C$ は開放状態になります。回路に流れる電流を $I$［A］、2［Ω］の抵抗に加わる電圧を $V$［V］とすると、オームの法則と分圧の法則より

$I=\displaystyle \frac{ 6}{ 1+2}=2$［A］

$V=\displaystyle \frac{ 2}{ 1+2}×6=4$［V］

$L$ 及び $C$ に蓄えられるエネルギーをそれぞれ、$W_L$，$W_C$［J］とすると、

$W_L=\displaystyle \frac{ 1}{ 2}LI^2=\displaystyle \frac{ 1}{ 2}×3×2^2=6$［J］

$W_C=\displaystyle \frac{ 1}{ 2}LV^2=\displaystyle \frac{ 1}{ 2}×5×4^2=40$［J］

したがって、$L$ 及び $C$ に蓄えられるエネルギーの合計値 $W$［J］は、

$W=W_L+W_C=46$［J］

答え (3)

(a) テブナンの定理を利用します。電圧源は短絡し、端子 pq から左側の回路を見た合成抵抗 $R_0$［Ω］は、

$R_0＝\displaystyle \frac{ 20×30}{ 20+30}＝12$［Ω］

端子 pq 間を開放したときの端子間電圧 $E_0$［Ｖ］は、分圧の法則より

$E_0＝\displaystyle \frac{ 100}{ 20+30}×30＝60$［Ｖ］

答え (2)

(b) 抵抗 $R$ に流れる電流を $I$［A］とすると、テブナンの定理より、

$I=\displaystyle \frac{ V_0 }{ R_0+R }=\displaystyle \frac{ 60 }{ 12+R }$

消費電力は $P=RI^2$［W］で表されます。題意より、$P=72$［W］なので、

$R×\displaystyle \frac{ 60 ^2}{ (12+R)^2 }＝72$

この式を $R$ について解きます。

$R^2+24R+144＝50R$
$R^2-26R+144＝0$
$(R-8)(R-18)＝0$
$R＝8,18$ ［Ω］

$R=8$［Ω］のときは $I=3$［A］で、そのときの電圧は 24［V］
$R=18$［Ω］のときは $I=2$［A］で、そのときの電圧は 36［V］

高い方の電圧は 36［V］

答え (1)

図に示す回路で、テブナンの定理を利用します。電圧源は短絡し、端子 ab から左側の回路を見た合成抵抗 $R_0$［Ω］は、

$R_0＝\displaystyle \frac{ R_1r}{ R_1+r}$［Ω］

端子 ab 間を開放したときの端子間電圧 $E_{ab}$［Ｖ］は、分圧の法則より

$E_{ab}＝\displaystyle \frac{ R_1}{ R_1+r}×E$［Ｖ］

抵抗 $R_2$ に流れる電流を $I$［A］とすると、テブナンの定理より、

$\begin{eqnarray}I&=&\displaystyle \frac{ E_{ab} }{ R_0+R_2 }\\\\&=&\displaystyle \frac{ \displaystyle \frac{ ER_1}{ R_1+r} }{ \displaystyle \frac{ R_1r}{ R_1+r}+R_2 }\\\\&=&\displaystyle \frac{ ER_1}{R_1r+ R_2(R_1+r) }\end{eqnarray}$

可変抵抗 $R_2$［Ω］の消費電力 $P$［W］は、

$P=R_2I^2=R_2\left(\displaystyle \frac{ ER_1}{ R_1r+ R_2(R_1+r) }\right)^2$

消費電力 $P$［W］が最大になるときの条件は、分母が最小になるときです。最小の定理より、

$R_1r= R_2(R_1+r) $

$R_2=\displaystyle \frac{ rR_1}{ (r+R_1)}$

答え (5)

消費電力は $P=RI^2$［W］で表されます。この式を変形すると、

$I=\displaystyle \sqrt{ \frac{ P}{ R}}$

12［Ω］の抵抗に流れる電流を $I$［A］とすると、

$I=\displaystyle \sqrt{ \frac{ 27}{ 12}}＝1.5$［A］

回路全体の合成抵抗を $R_Z$［Ω］とすると、

$R_Z=30+\displaystyle \frac{ 12R}{12+R}$

12［Ω］の抵抗に流れる電流を $I$［A］を 抵抗 $R$ で表します。分流の法則より、

$\begin{eqnarray}I&=&\displaystyle \frac{ R}{12+R}×\displaystyle \frac{ 90}{R_Z}\\\\&=&\displaystyle \frac{ R}{12+R}×\displaystyle \frac{ 90}{30+\displaystyle \frac{ 12R}{12+R}}\\\\&=&\displaystyle \frac{ 90R}{360+42R}\\\\&=&1.5［A］\end{eqnarray}$

$27R=540$
$R=20$［Ω］

答え (5)

テブナンの定理を利用します。端子 ab 間を開放したときの端子間電圧 $V_0$［V］を、図に示す $V_a$［V］と $V_b$［V］から導きます。

分圧の法則より、

$V_a=\displaystyle \frac{ 40}{40+40}×60=30$ ［V］
$V_b=\displaystyle \frac{ 80}{60+60}×60=40$ ［V］

$V_0=V_b-V_a=40-30＝10$［V］

電圧源を短絡し、端子 ab から見た合成抵抗を $R_0$［Ω］とします。等価回路図は次のようになります。

$R_0=\displaystyle \frac{ 40}{2}+\displaystyle \frac{ 60}{2}=50$［Ω］

抵抗 $R$ に流れる電流を $I$［A］とすると、テブナンの定理より、

$I=\displaystyle \frac{ V_0 }{ R_0+R }=\displaystyle \frac{ 10 }{ 50+10 }=\displaystyle \frac{ 1 }{ 6 }$［A］

抵抗 $R$ の消費電力は $P$［W］は、

$P=RI^2＝10×\left(\displaystyle \frac{ 1 }{ 6 }\right)^2≒0.28$［W］

答え (1)

抵抗 $R_1$ に流れる電流を $I$［A］、抵抗 $R_3$ に流れる電流を $I_3$［A］とすると、分流の法則 より

$I_3=\displaystyle \frac{10I }{ 10+15 }=\displaystyle \frac{2I }{ 5 }$

消費電力は $P=RI^2$［W］で表されます。抵抗 $R_1$ で消費される電力を $P_1$［W］、抵抗 $R_3$ で消費される電力を $P_3$［W］とすると、消費される電力比 $\displaystyle \frac{P_1 }{ P_3 } $ は、

$\displaystyle \frac{P_1 }{ P_3 } =\displaystyle \frac{5I^2 }{ 15×\left(\displaystyle \frac{2I }{ 5 }\right)^2 }=\displaystyle \frac{25 }{ 12 } ≒2.08$

答え (5)

テブナンの定理を利用します。

電圧源は短絡し、端子 ab から下側を見た合成抵抗 $R_0$［Ω］は、

$R_0＝\displaystyle \frac{ r}{4}＝0.025$［Ω］

端子 ab 間を開放したときの端子間電圧 $V_0$［Ｖ］を求めます。

この回路には、電位差がないので電流は流れません。つまり、電源電圧 $E=9$［V］が、端子 ab 間の電圧になります。$V_0=9$［V］

抵抗 $R$ に流れる電流を $I$［A］とすると、テブナンの定理より、

$I=\displaystyle \frac{ V_0 }{ R_0+R }=\displaystyle \frac{ 9 }{ 0.025+0.5 }≒17.14$［A］

抵抗 $R$ で消費される電力を $P$［W］とすると、

$P=RI^2=0.5×17.14^2≒147$［W］

答え (2)

定常状態中にある直流回路では、コンデンサは開放，コイルは短絡として扱うことが出来ますので、抵抗のみの回路として電流を計算することが出来ます。つまり、定常状態の回路は次の図のように考えることができ、回路に流れる電流 $I$［A］は $2$［A］と計算することができます。

問題文の回路図で考えると、コイル $L_1$，$L_2$ に流れる電流は $2$［A］、各コンデンサ $C_1$，$C_2$ の端子電圧をそれぞれ $V_1$，$V_2$ とすると、並列に接続されている抵抗の端子電圧と等しくなりますので、$V_1＝40$［V］，$V_2＝60$［V］となります。

したがって、コイルとコンデンサ $L_1$，$L_2$，$C_1$，$C_2$ に蓄えられるエネルギー $W_{L1}$，$W_{L2}$，$W_{C1}$，$W_{C2}$ は、

$W_{L1}=\displaystyle\frac{L_1I^2}{2}=\displaystyle\frac{20×10^{-3}×2^2}{2}＝0.04$［J］

$W_{L2}=\displaystyle\frac{L_2I^2}{2}=\displaystyle\frac{40×10^{-3}×2^2}{2}＝0.08$［J］

$W_{C1}=\displaystyle\frac{C_1{V_1}^2}{2}=\displaystyle\frac{400×10^{-6}×40^2}{2}＝0.32$［J］

$W_{C2}=\displaystyle\frac{C_2{V_2}^2}{2}=\displaystyle\frac{600×10^{-6}×60^2}{2}＝1.08$［J］

エネルギーの総和 $W$［J］は、

$W=W_{L1}+W_{L2}+W_{C1}+W_{C2}=1.52$［J］

答え（５）