三相交流回路

第三種電気主任技術者（電験三種）試験に独学で合格できるよう、分野ごとに「考え方」や「解き方」の解説と過去問題をまとめています。このページで、電験三種の理論科目に出題される三相交流回路について、初心者の方でも解りやすく、基礎から勉強できます。また、電験三種の理論科目の試験で、実際に出題された三相交流回路の過去問題も解説しています。

三相交流の瞬時値
三相交流のベクトル表示と複素数表示
三相交流回路の結線方式
負荷の Y ー Δ の相互変換
1. Y ⇒ Δ に変換
2. Δ ⇒ Y に変換
電源の Y ー Δ の相互変換
電験三種－理論の過去問解説：三相交流回路

三相交流の瞬時値

磁界の中でコイルを回転させると、正弦波交流が発生します。このときコイルを 120°（$=\displaystyle \frac{ 2}{ 3 }π$）ずつずらして回転させると、同じ周波数で３つの正弦波交流が発生します。

この３つの起電力の瞬時値を $e_a$，$e_b$，$e_c$ とし、$e_a$ を基準にとり、$t=0$ のときの位相角を $0$ とすると、各相の起電力は次のように表すことができます。

$e_a=\sqrt{2}Esinωt$
$e_b=\sqrt{2}Esin(ωt-\displaystyle \frac{ 2}{ 3 }π)$
$e_c=\sqrt{2}Esin(ωt-\displaystyle \frac{ 4}{ 3 }π)$

このように、３つの相の角速度 $ω$ が同じで、位相の違う起電力を１つのものとして取り扱う場合を「三相交流」といいます。周波数が等しく、位相の異なる3個の起電力を含む回路といえます。尚、おのおのの最大値が等しく、位相が互いに 120°ずつ異なるものを特に対称三相交流といいます。対称三相交流では、どの時刻においても、各交流の大きさの和は $0$ になります。つまり、瞬時値 $e_a$，$e_b$，$e_c$ の和は $0$ になります。

$e_a+e_b+e_c=0$

三相交流のベクトル表示と複素数表示

三相交流の各相の瞬時値 $e_a$，$e_b$，$e_c$ をベクトル $\dot{ E _a}$，$\dot{ E _b}$，$\dot{ E _c}$ で表すと次のようになります。尚、$\dot{ E _a}$ を基準に考えています。

$\dot{ E _a}=E∠0$
$\dot{ E _b}=E∠-\displaystyle \frac{ 2}{ 3 }π$
$\dot{ E _c}=E∠-\displaystyle \frac{ 4}{ 3 }π$

複素数表示では、次のように表すことができます。

$\begin{eqnarray}\dot{ E _a}&=&E∠0\\&=&E(cos0+jsin0)\\&=&E\end{eqnarray}$
$\begin{eqnarray}\dot{ E _b}&=&E∠-\displaystyle \frac{ 2}{ 3 }π\\&=&E(cos(-\displaystyle \frac{ 2}{ 3 }π)+jsin(-\displaystyle \frac{ 2}{ 3 }π))\\&=&E(-\displaystyle \frac{ 1}{ 2 }-j\displaystyle \frac{ \sqrt{3}}{ 2 })\end{eqnarray}$
$\begin{eqnarray}\dot{ E _c}&=&E∠-\displaystyle \frac{ 4}{ 3 }π\\&=&E(cos(-\displaystyle \frac{ 4}{ 3 }π)+jsin(-\displaystyle \frac{ 4}{ 3 }π))\\&=&E(-\displaystyle \frac{ 1}{ 2 }+j\displaystyle \frac{ \sqrt{3}}{ 2 })\end{eqnarray}$

対称三相交流では、どの時刻においても、各交流の大きさの和は $0$ になります。このことは、次のように計算で確認することができます。

$\begin{eqnarray}\dot{ E _a}+\dot{ E _b}+\dot{ E _c}&=&E+E(-\displaystyle \frac{ 1}{ 2 }-j\displaystyle \frac{ \sqrt{3}}{ 2 })+E(-\displaystyle \frac{ 1}{ 2 }+j\displaystyle \frac{ \sqrt{3}}{ 2 })\\&=&E-\displaystyle \frac{ 1}{ 2 }E-\displaystyle \frac{ 1}{ 2 }E+E(-j\displaystyle \frac{ \sqrt{3}}{ 2 }+j\displaystyle \frac{ \sqrt{3}}{ 2 })\\&=&0\end{eqnarray}$

電流も同様に、大きさの和は $0$ になります。

三相交流回路の結線方式

三相交流の電源の接続方法には、単相電源を３個接続した「Y（スター）結線」と「Δ（デルタ）結線」があります。また、単相電源２個を接続して三相交流を発生させる「V（ブイ）結線」があります。

３個の電源の電圧の大きさが等しく、３個の位相が $=\displaystyle \frac{ 2}{ 3 }π$ ずつずれているものを
「対称三相交流」といいます。また、そうでないものを「非対称三相交流」といいます。

三相交流の負荷の接続方法にもY結線とΔ結線があります。

3個の負荷の大きさが等しいものを「平衡三相負荷」といいます。

相電圧と線間電圧

図のような三相電源において、$\dot{ E _a}$，$\dot{ E _b}$，$\dot{ E _c}$ を「相電圧」、 $\dot{ V_{ab}}$，$\dot{ V_{bc}}$，$\dot{ V_{ca}}$ を「線間電圧」といいます。対称三相交流では、各相電圧の大きさと各線間電圧の大きさが等しくなります。

相電流と線電流

Y結線の $\dot{ I_a’}$，$\dot{ I_b’}$，$\dot{ I c’}$ とΔ結線の $\dot{ I_{ab}}$，$\dot{ I_{bc}}$，$\dot{ I_{ca}}$ を「相電流」、$\dot{ I_a}$，$\dot{ I_b}$，$\dot{ I_c}$ を「線電流」といいます。対称三相交流では、各相電流の大きさと各線電流の大きさが等しくなります。

Y結線の電源とY結線の負荷を接続した回路

次の図のように電源がY結線、負荷がY結線された回路を考えます。電源の O 点と負荷の O’ 点を中性点といい、 O 点と O’間を結ぶ線を中性線といいます。中性線を流れる電流は、各相の電流の和であり、平衡負荷の時は 0 となります。そのため、取り外しても全体の回路の電流分布には変化がありませんので、省略できます。このときは、単相交流回路が３つあるものとして考えることができます。

単相交流として見ると、Ｙ－Ｙ回路は電源とインピーダンスの直列回路になりますので、「線電流 = 相電流 」になります。

$\dot{ I_a}=\dot{ I_a’}$ ， $\dot{ I_b}=\dot{ I_b’}$ ， $\dot{ I_c}=\dot{ I_c’}$

また、電源側に注目してみます。相電圧（$\dot{ E _a}$，$\dot{ E_b}$，$\dot{ E _c}$）と線間電圧（$\dot{ V_{ab}}$，$\dot{ V_{bc}}$，$\dot{ V_{ca}}$ ）の関係は次のようになります。

$\dot{ V_{ab}}=\dot{ E _a}-\dot{ E _b}$
$\dot{ V_{bc}}=\dot{ E _b}-\dot{ E _c}$
$\dot{ V_{ca}}=\dot{ E _c}-\dot{ E _a}$

相電圧 $\dot{ E _a}$ を基準にしたベクトル図で、$\dot{ V_{ab}}=\dot{ E _a}-\dot{ E _b}$ を表します。

ベクトル図より、線間電圧 $\dot{ V_{ab}}$ と、相電圧 $\dot{ E _a}$ に $\displaystyle \frac{ π}{ 6 }$ の位相差があることがわかります。これは、三相とも同じことが言え、Ｙ－Ｙ回路では「線間電圧は相電圧より $\displaystyle \frac{ π}{ 6 }$ 進み」になります。

次に、線間電圧 $\dot{ V_{ab}}$ の大きさを求めます。ベクトル図より、$\dot{ V_{ab}}$ と $\dot{ E _a}$ から成る三角形は、２つの角度が $\displaystyle \frac{ π}{ 6 }$ の二等辺三角形ですので、点 a から線分 $V_{ab}$ へ、下図のように垂線を下ろすと、辺の比が $1:2:\sqrt{3}$ の直角三角形が２つできます。

辺の比が $1:2:\sqrt{3}$ なので、線分 $V_{ab}$ の半分の長さは $\displaystyle \frac{\sqrt{3}}{ 2 }E_a$ になります。したがって、線分 $V_{ab}$ の長さは、$\sqrt{3}E_a$ になりますので、「線間電圧の大きさは相電圧の $\sqrt{3}$ 倍」になります。

$V_{ab}=\sqrt{3}E _a$ ， $V_{bc}=\sqrt{3}E _b$ ， $V_{ca}=\sqrt{3}E _c$

ポイント

Y結線の電源とY結線の負荷を接続した回路のまとめ

相電圧：$\dot{ E_a}$，$\dot{ E _b}$，$\dot{ E _c}$
線間電圧：$\dot{ V_{ab}}$，$\dot{ V_{bc}}$，$\dot{ V_{ca}}$

相電流：$\dot{ I_a’}$，$\dot{ I_b’}$，$\dot{ I_c’}$
線電流：$\dot{ I_a}$，$\dot{ I_b}$，$\dot{ I_c}$

線電流 = 相電流
　$\dot{ I_a}=\dot{ I_a’}$ ， $\dot{ I_b}=\dot{ I_b’}$ ， $\dot{ I_c}=\dot{ I_c’}$

線間電圧の大きさ = $\sqrt{3}$ 相電圧の大きさ
　$V_{ab}=\sqrt{3}E_a$ ， $V_{bc}=\sqrt{3}E_b$ ， $V_{ca}=\sqrt{3}E _c$

線間電圧は相電圧より $\displaystyle \frac{ π}{ 6 }$ 進んでいる
　$\dot{V_{ab}}=\sqrt{3}\dot{ E_a}∠\displaystyle \frac{ π}{ 6 }$ ， $\dot{V_{bc}}=\sqrt{3}\dot{ E_b}∠\displaystyle \frac{ π}{ 6 }$ ， $\dot{V_{ca}}=\sqrt{3}\dot{ E_c}∠\displaystyle \frac{ π}{ 6 }$

Δ結線の電源とΔ結線の負荷を接続した回路

図のように電源がΔ結線、負荷がΔ結線された回路を考えます。Δ結線で接続された回路では、「線間電圧 = 相電圧」になります。

$\dot{ V_{ab}}=\dot{ E _a}$ ， $\dot{ V_{bc}}=\dot{ E_b}$ ， $\dot{ V_{ca}}=\dot{ E _c}$

ここで、電源側に注目してみます。線電流（ $\dot{ I _a}$，$\dot{ I _b}$，$\dot{ I _c}$）と相電流（$\dot{ I _{ab}}$，$\dot{ I _{bc}}$，$\dot{ I _{ca}}$ ）の関係は次のようになります。

$ \dot{ I _a}=\dot{ I _{ab}}-\dot{ I _{ca}}$
$ \dot{ I _b}=\dot{ I _{bc}}-\dot{ I _{ab}}$
$ \dot{ I _c}=\dot{ I _{ca}}-\dot{ I _{bc}}$

相電流 $\dot{ I _{ab}}$ を基準にしたベクトル図で、$ \dot{ I _a}=\dot{ I _{ab}}-\dot{ I _{ca}}$ を表します。

ベクトル図より、線電流 $\dot{ I_{a}}$ と、相電流 $\dot{ I _{ab}}$ に $\displaystyle \frac{ π}{ 6 }$ の位相差があることがわかります。これは、三相とも同じことが言え、Ｙ－Ｙ回路では「線電流は相電流より $\displaystyle \frac{ π}{ 6 }$ 遅れ」になります。

次に、線電流 $\dot{ I _a}$ の大きさを求めます。ベクトル図より、$\dot{ I _a}$ と $\dot{ I_{ab}}$ から成る三角形は、２つの角度が $\displaystyle \frac{ π}{ 6 }$ の二等辺三角形ですので、点 a から線分 $I_a$ へ、下図のように垂線を下ろすと、辺の比が $1:2:\sqrt{3}$ の直角三角形が２つできます。

辺の比が $1:2:\sqrt{3}$ なので、線分 $I_{a}$ の半分の長さは $\displaystyle \frac{\sqrt{3}}{ 2 }I_{ab}$ になります。したがって、線分 $I_{a}$ の長さは、$\sqrt{3}I_{ab}$ になりますので、「線電流の大きさは相電流の $\sqrt{3}$ 倍」になります。

$I_{a}=\sqrt{3}I_{ab}$ ， $I_{b}=\sqrt{3}I _{bc}$ ， $I_{c}=\sqrt{3}I _{ca}$

ポイント

Δ結線の電源とΔ結線の負荷を接続した回路のまとめ

相電圧：$\dot{ E_a}$，$\dot{ E _b}$，$\dot{ E _c}$
線間電圧：$\dot{ V_{ab}}$，$\dot{ V_{bc}}$，$\dot{ V_{ca}}$

相電流：$\dot{ I_{ab}}$，$\dot{ I_{bc}}$，$\dot{ I_{ca}}$
線電流：$\dot{ I_a}$，$\dot{ I_b}$，$\dot{ I_c}$

線電流の大きさ = $\sqrt{3}$ 相電流の大きさ
　$I_{a}=\sqrt{3}I_{ab}$ ， $I_{b}=\sqrt{3}I _{bc}$ ， $I_{c}=\sqrt{3}I _{ca}$

線間電圧 = 相電圧
　$\dot{ V_{ab}}=\dot{ E_a}$ ， $\dot{ V_{bc}}=\dot{ E_b}$ ， $\dot{ V_{ca}}=\dot{ E _c}$

線電流は相電流より $\displaystyle \frac{ π}{ 6 }$ 遅れている
　$\dot{ I _a}=\sqrt{3}\dot{ I_{ab}}∠-\displaystyle \frac{ π}{ 6 }$ ， $\dot{ I _b}=\sqrt{3}\dot{ I_{bc}}∠-\displaystyle \frac{ π}{ 6 }$ ， $\dot{ I _c}=\sqrt{3}\dot{ I_{ca}}∠-\displaystyle \frac{ π}{ 6 }$

負荷の Y ー Δ の相互変換

三相回路で、電源と負荷の結線方法が異なる場合には、負荷側を Y ⇒ Δ または Δ ⇒ Y に変換して、計算を簡単にすることができます。

Y ⇒ Δ に変換

$\dot{ Z _{ab}}=\displaystyle \frac{ \dot{ Z _a}\dot{ Z _b}+ \dot{ Z _b}\dot{ Z _c}+\dot{ Z _c}\dot{ Z _a}}{ \dot{ Z _c} }$
$\dot{ Z _{bc}}=\displaystyle \frac{ \dot{ Z _a}\dot{ Z _b}+ \dot{ Z _b}\dot{ Z _c}+\dot{ Z _c}\dot{ Z _a}}{ \dot{ Z _a} }$
$\dot{ Z _{ca}}=\displaystyle \frac{ \dot{ Z _a}\dot{ Z _b}+ \dot{ Z _b}\dot{ Z _c}+\dot{ Z _c}\dot{ Z _a}}{ \dot{ Z _b} }$

尚、各相のインピーダンスが等しいときは、$\dot{ Z _Y}=\dot{ Z _a}=\dot{ Z _b}=\dot{ Z _c}$、$\dot{ Z _Δ}=\dot{ Z _{ab}}=\dot{ Z _{bc}}=\dot{ Z _{ca}}$ とすると、

$\dot{ Z _Δ}=3\dot{ Z _Y}$

公式

平衡三相負荷の Y ⇒ Δ 変換

・負荷がインピーダンス $Z$［Ω］またはインダクタンス $L$［Ｈ］の場合

・負荷が静電容量 $C$［F］の場合

Δ ⇒ Y に変換

$\dot{ Z _a}=\displaystyle \frac{ \dot{ Z _{ca}}+\dot{ Z _{ab} } }{ \dot{ Z _{ab}} +\dot{ Z _{bc}}+\dot{ Z _{ca} } }$
$\dot{ Z _b}=\displaystyle \frac{ \dot{ Z _{ab}}+\dot{ Z _{bc} } }{ \dot{ Z _{ab}} +\dot{ Z _{bc}}+\dot{ Z _{ca} } }$
$\dot{ Z _c}=\displaystyle \frac{ \dot{ Z _{bc}}+\dot{ Z _{ca} } }{ \dot{ Z _{ab}} +\dot{ Z _{bc}}+\dot{ Z _{ca} } }$

尚、各相のインピーダンスが等しいときは、$\dot{ Z _Y}=\dot{ Z _a}=\dot{ Z _b}=\dot{ Z _c}$、$\dot{ Z _Δ}=\dot{ Z _{ab}}=\dot{ Z _{bc}}=\dot{ Z _{ca}}$ とすると、

$\dot{ Z _Y}=\displaystyle \frac{\dot{ Z _Δ}}{3}$

公式

平衡三相負荷の Δ ⇒ Y 変換

・負荷がインピーダンス $Z$［Ω］またはインダクタンス $L$［Ｈ］の場合

・負荷が静電容量 $C$［F］の場合

電源の Y ー Δ の相互変換

三相回路で、電源と負荷の結線方法が異なる場合には、電源側を Y ⇒ Δ または Δ ⇒ Y に変換して、計算を簡単にすることもできます。

Y結線側の相電圧が $\dot{ E _a}$，$\dot{ E _b}$，$\dot{ E _c}$ のとき、これと等価なΔ結線の相電圧 $\dot{ E _a′}$，$\dot{ E _b’}$，$\dot{ E _c’}$ は次のようになります。

$\dot{ E _a’}=\dot{ V _{ab}}=\sqrt{3}\dot{ E _a}∠\displaystyle \frac{\dot{ π}}{6}$
$\dot{ E _b’}=\dot{ V _{bc}}=\sqrt{3}\dot{ E _b}∠\displaystyle \frac{\dot{ π}}{6}$
$\dot{ E _c’}=\dot{ V _{ca}}=\sqrt{3}\dot{ E _c}∠\displaystyle \frac{\dot{ π}}{6}$

尚、Y結線の相電圧の大きさを $E_Y$、Δ結線の相電圧の大きさを $E_Δ$とすると、

$E_Δ=\sqrt{3}E_Y$
$E_Y=\displaystyle \frac{E_Δ}{\sqrt{3}}$

公式

対称三相交流における電源電圧の Y ー Δ 相互変換

・Y ⇒ Δ 変換

・Δ ⇒ Y 変換

電験三種－理論の過去問解説：三相交流回路

(財)電気技術者試験センターが作成した、第三種電気主任技術者試験の理論科目で出題された問題です。

1998年（平成10年）問8【電験理論の過去問題】

図のような平衡三相回路において、線電流の値が 60 [A] のとき、電源の相電圧 $V$ [V] の大きさとして、正しいのは次のうちどれか。

(1) 116　(2) 140　(3) 200　(4) 245　(5) 346

電験三種　過去問解説　1998年（平成10年）問8

負荷側をΔ⇒Y変換すると、各相のインピーダンスが等しいので、インピーダンスは $\displaystyle \frac{1}{3}$になります。電源の相電圧 $V$ [V] の大きさは、

$\begin{eqnarray}V&=&IZ\\\\&=&I×\sqrt{r^2+x^2}\\\\&=&60×\sqrt{\left(\displaystyle \frac{8}{3}\right)^2+\left(\displaystyle \frac{6}{3}\right)^2}\\\\&=&200 [V] \end{eqnarray}$

答え (3)

2000年（平成12年）問6【電験理論の過去問題】

図のような平衡三相回路において、線電流 $I$ [A] の値として、正しいものは次のうちどれか。

(1) 14.0　(2) 17.3　(3) 24.2　(4) 30.6　(5) 42.0

電験三種　過去問解説　2000年（平成12年）問6

電源側をΔ⇒Y変換すると、Yに変換後の相電圧 $E_Y$ [V] は、

$E_Y=\displaystyle \frac{E_Δ}{\sqrt{3}}=\displaystyle \frac{420}{\sqrt{3}}≒242$ [V]

線電流 $I$ [A] は、

$I=\displaystyle \frac{E_Y}{Z}=\displaystyle \frac{242}{\sqrt{8^2+6^2}}=24.2$ [A]

答え (3)

2001年（平成13年）問11【電験理論の過去問題】

図のような平衡三相回路の負荷において、誘導性リアクタンス $X_L$ [Ω] に流れる電流の大きさを $I_L$ [A] 、容量性リアクタンス $X_C$ [Ω] に流れる電流の大きさを $I_C$ [A] とするとき、次の(a)及び(b)に答えよ。

(a) $X_L$ [Ω] によるΔ結線の負荷をこれと等価なY結線の負荷に変換したとき、変換後の1相の誘導性リアクタンス $X_L’$ [Ω] に流れる電流 $I_L’$ [A] の大きさとして、正しいのは次のうちどれか。

(1) $\sqrt{3}I_L$　(2) $\sqrt{2}I_L$　(3) $I_L$　(4) $\displaystyle \frac{ 1 }{ \sqrt{2} }I_L$　(5)$\displaystyle \frac{ 1 }{ \sqrt{3} }I_L$

(b) 図の回路において、電流 $I_L$ と$I_C$ が $I_L=\displaystyle \frac{ 2 }{ \sqrt{3} }I_C$の関係にあるとき、 $X_L$ [Ω] の値として、正しいのは次のうちどれか。

(1) 5　(2) 10　(3) 15　(4) 20　(5) 25

電験三種　過去問解説　2001年（平成13年）問11

(a) Δ結線で、誘導性リアクタンス $X_L$ [Ω] に流れる電流の大きさを $I_L$ [A] は、

$I_L=\displaystyle \frac{V}{X_L}$ [A]

誘導性リアクタンス $X_L$ [Ω] をΔ⇒Y変換したときのリアクタンスを ${X_L}’$ [Ω] とすると、各相のインピーダンスは等しいので、

${X_L}’=\displaystyle \frac{X_L}{3}$

相電圧は $E=\displaystyle \frac{V}{\sqrt{3}}$ [V] ですので、Y回路に流れる電流 ${I_L}’$ は、

${I_L}’=\displaystyle \frac{E}{\displaystyle \frac{X_L}{3}}=\displaystyle \frac{\displaystyle \frac{V}{\sqrt{3}}}{\displaystyle \frac{X_L}{3}}=\sqrt{3}\displaystyle \frac{V}{X_L}=\sqrt{3}I_L$ [V]

答え (1)

(b) $I_C=\displaystyle \frac{E}{X_C}$ ですので、題意より

$I_L=\displaystyle \frac{ 2 }{ \sqrt{3} }I_C$

$\displaystyle \frac{V}{X_L}=\displaystyle \frac{ 2 }{ \sqrt{3} }\displaystyle \frac{E}{X_C}=\displaystyle \frac{ 2 }{ 3 }\displaystyle \frac{V}{X_C}$

$X_L=\displaystyle \frac{ 3 }{ 2 }X_C=\displaystyle \frac{ 3 }{ 2 }×10=15$ [Ω]

答え (3)

2002年（平成14年）問7【電験理論の過去問題】

図のように、三つの交流電圧源から構成される回路において、各相の電圧 $\dot{ E_a }$ [V] ，$\dot{ E_b }$ [V] ，及び$\dot{ E_c }$ [V] は、それぞれ次のように与えられる。ただし、式中の $∠Φ$は、$(cosΦ＋jsinΦ)$ を表す。

$\dot{ E_a }=200∠0$ [V]
$\dot{ E_b }=200∠-\displaystyle \frac{ 2π }{ 3 }$ [V]
$\dot{ E_c }=200∠\displaystyle \frac{ π }{ 3 }$ [V]

このとき、図中の線間電圧 $\dot{ V }_{ca}$ [V] と $\dot{ V }_{bc}$ [V] の大きさ(スカラ量)の値として、正しいものを組み合わせたのは次のうちどれか。

	線間電圧 $\dot{ V }_{ca}$ [V] の電圧	線間電圧 $\dot{ V }_{bc}$ [V] の電圧
（１）	$200$	$0$
（２）	$200\sqrt{3}$	$200\sqrt{3}$
（３）	$200\sqrt{3}$	$400\sqrt{3}$
（４）	$200\sqrt{3}$	$400$
（５）	$200$	$400$

電験三種　過去問解説　2002年（平成14年）問7

問をベクトル図で示します。

図より、線間電圧 $\dot{ V }_{ca}$ の電圧は 200 [V] 、線間電圧 $\dot{ V }_{bc}$ の電圧は 400 [V]

答え (5)

2003年（平成15年）問7【電験理論の過去問題】

図の対称三相交流電源の各相の電圧は、それぞれ $\dot{ E _a}=200∠0$ [V] ，$\dot{ E _b}=200∠-\displaystyle \frac{ 2π }{ 3 }$ [V] 及び $\dot{ E_c }=200∠-\displaystyle \frac{ 4π }{ 3 }$ [V] である。この電源には、抵抗 40 [Ω] をΔ結線した三相平衡負荷が接続されている。このとき、線間電圧 $\dot{ V }_{ab}$ [V] と線電流 $\dot{ I_a}$ [A] の大きさ(スカラ量)の値として、最も近いものを組み合わせたのは次のうちどれか。

	線間電圧 $\dot{ V }_{ab}$ [V] の大きさ	線電流 $\dot{ I_a}$ [A] の大きさ
（１）	283	5
（２）	283	8.7
（３）	346	8.7
（４）	346	15
（５）	400	15

電験三種　過去問解説　2003年（平成15年）問7

線間電圧 $\dot{ V_{ab} }$ [V] の大きさは、相電圧 $\dot{ E _a}$ [V] の $\sqrt{3}$ 倍ですので、

$ V_{ab}=\sqrt{3} E _a=\sqrt{3}×200＝346$ [V]

相電流を $I_p$ [A] とすると、

$I_p=\displaystyle{ V_{ab}}{R}=\displaystyle{ 346}{40}=8.65$ [A]

線電流 $I_a$ [A] と、相電流を $I_p$ [A] は、$I_a=\sqrt{3}I_p$ [A] の関係がありますので、

$I_a=\sqrt{3}I_p=\sqrt{3}×8.65=15$ [A]

答え (4)

2009年（平成21年）問16【電験理論の過去問題】

平衡三相回路について、次の(a)及び(b)に答えよ。

(a) 図１のように、抵抗 $R$ [Ω] が接続された平衡三相負荷に線間電圧 $E$ [V] の対称三相交流電源を接続した。この時、図１に示す電流 $\dot{ I_1}$ [A] の大きさの値を示す式として、正しいのは次のうちどれか。

(b) 次に、図１を図２のように、抵抗 $R$ [Ω] をインピーダンス $\dot{ Z}=12+j9$ [Ω] の負荷に置き換え、線間電圧 $E=200$ [V] とした。このとき、図２に示す電流 $\dot{ I_2}$ [A] の大きさの値として、最も近いのは次のうちどれか。

電験三種　過去問解説　2009年（平成21年）問16

(a) 抵抗負荷の中央部分をΔ⇒Y変換すると、抵抗値は $\displaystyle \frac{R}{3}$ になります。一相分の抵抗は、$R+\displaystyle \frac{R}{3}$ ですので、電流 $\dot{ I_1}$ [A] は、

$\dot{ I_1}=\displaystyle \frac{\displaystyle \frac{E}{\sqrt{3}}}{R+\displaystyle \frac{R}{3}}=\displaystyle \frac{\sqrt{3}E}{4R}$ [A]

答え (3)

(b) 中央部分をΔ⇒Y変換すると、次の図のようになります。電流 $\dot{ {I_2}’}$ [A] は、

$\dot{ {I_2}’}=\displaystyle \frac{\displaystyle \frac{200}{\sqrt{3}}}{(12+j9)+(4+j3)}=\displaystyle \frac{200}{\sqrt{3}(16+j12)}$

$\dot{ {I_2}’}$ の大きさは

$ {I_2}’=\displaystyle \frac{200}{\sqrt{3}×\sqrt{16^2+12^2}}=5.77$ [A]

${I_2}’$ は線電流ですので、相電流の大きさ $I_2$ は、

$I_2=\displaystyle \frac{5.77}{\sqrt{3}}=3.3$ [A]

答え (2)

2012年（平成24年）問16【電験理論の過去問題】

図のように、相電圧 200 [V] の対称三相交流電源に、複素インピーダンス $\dot{ Z}=5\sqrt{3}+j5$ [Ω] の負荷がY結線された平衡三相負荷を接続した回路がある。
次の(a)及び(b)の問に答えよ。

(a) 電流 $I_1$ [A] の値として、最も近いものを次の(1)～(5)のうちから一つ選べ。

(1) $20.00∠-\displaystyle \frac{ π }{ 3 }$　(2) $20.00∠-\displaystyle \frac{ π }{ 6 }$　(3) $16.51∠-\displaystyle \frac{ π }{ 6 }$　(4) $11.55∠-\displaystyle \frac{ π }{ 3 }$　(5) $11.55∠-\displaystyle \frac{ π }{ 6 }$

(b) 電流 $I_{ab}$ [A] の値として、最も近いものを次の(1)～(5)のうちから一つ選べ。

(1) $20.00∠-\displaystyle \frac{ π }{ 6 }$　(2) $11.55∠-\displaystyle \frac{ π }{ 3 }$　(3) $11.55∠-\displaystyle \frac{ π }{ 6 }$　(4) $6.67∠-\displaystyle \frac{ π }{ 3 }$　(5) $6.67∠-\displaystyle \frac{ π }{ 6 }$

電験三種　過去問解説　2012年（平成24年）問16

(a) 電源側をΔ⇒Y変換し、Δ側の相電圧 $\dot{ E _a}$ を基準にしたベクトル図を示します。

図より、Δ結線をY結線に変換すると、相電圧は線間電圧の $\displaystyle \frac{1}{\sqrt{3}}$ になり、位相は $\displaystyle \frac{π}{6}$ 遅れます。

$\dot{ E _{Ya}}=\displaystyle \frac{\dot{ E _a}}{\sqrt{3}}∠-\displaystyle \frac{π}{6}=\displaystyle \frac{200}{\sqrt{3}}∠(0-\displaystyle \frac{π}{6})=\displaystyle \frac{200}{\sqrt{3}}∠-\displaystyle \frac{π}{6}$

一相分の負荷のインピーダンス $\dot{Z}$ [Ω] は、大きさが 10 [Ω] で、インピーダンス角が $\displaystyle \frac{π}{6}$ ですので、

$\dot{Z}=10∠\displaystyle \frac{π}{6}$ [Ω]

したがって、電流 $I_1$ [A] は、

$I_1=\displaystyle \frac{\dot{ E _{Ya}}}{\dot{Z}}=\displaystyle \frac{\displaystyle \frac{200}{\sqrt{3}}∠-\displaystyle \frac{π}{6}}{10∠\displaystyle \frac{π}{6}}=11.55∠-\displaystyle \frac{π}{3}$ [A]

答え (4)

(b) a相の電流をの関係をベクトル図を示します。

図より、相電流は線電流の $\displaystyle \frac{1}{\sqrt{3}}$ になり、位相は $\displaystyle \frac{π}{6}$ 進みます。

$\dot{I_{ab}}=\displaystyle \frac{\dot{I_{1}}}{\sqrt{3}}∠\displaystyle \frac{π}{6}=\displaystyle \frac{11.55}{\sqrt{3}}∠-\displaystyle \frac{π}{3}+\displaystyle \frac{π}{6}=6.67∠-\displaystyle \frac{π}{6}$ [A]

答え (5)