変圧器の等価回路【電験三種-機械】

機械
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電験三種の機械で出題される変圧器の等価回路について、初心者の方でも解りやすいように、基礎から解説しています。また、電験三種の試験で、実際に出題された過去問も解説しています。

変圧器の等価回路とベクトル図

一次・二次巻線の抵抗 $r_1$[Ω],$r_2$[Ω]、漏れリアクタンス $x_1$[Ω],$x_2$ [Ω]、および励磁コンダクタンス $g_o$[S]、励磁サセプタンス $b_o$[S]、または、励磁アドミタンス $\dot{Y}_o(=g_o-jb_o)$[S]で表した、図1(a)の回路を変圧器の等価回路といいます。この等価回路において、$\dot{Z}_1=r_1+jx_1$[Ω]を一次インピーダンスといい、$(r_1+jx_1)\dot{I}_1$[V]を一次インピーダンス降下といいます。また、$\dot{Z}_2=r_2+jx_2$[Ω]を二次インピーダンスといい、$(r_2+jx_2)\dot{I}_2$[V]を二次インピーダンス降下といいます。この回路の電圧と電流の間には、次の関係があります。

$\dot{V}_1=\dot{E}_1+\dot{Z}_1\dot{I}_1=\dot{E}_1+(r_1+jx_1)\dot{I}_1=\dot{E}_1+r_1\dot{I}_1+jx_1\dot{I}_1$ … (1)
$\dot{E}_2=\dot{V}_2+\dot{Z}_2\dot{I}_2=\dot{V}_2+(r_2+jx_2)\dot{I}_2=\dot{V}_2+r_2\dot{I}_2+jx_2\dot{I}_2$ … (2)
$\dot{V}_2=\dot{Z}_L\dot{I}_2$ … (3)

式(1),(2),(3)から電圧と電流のベクトル図を書くと、図1(b)のようになります。

図1 変圧器の等価回路とベクトル図

理想変圧器を取り去った等価回路

図1(a)の回路の電圧・電流およびインピーダンスなどを計算する場合、点線で囲まれた理想変圧器の部分を取り外し、単一電気回路として考えると便利です。この目的のために図2の回路に置き換え、電気的に等価になる条件を考えます。ここで、図1(a)の端子a,bから右のほうのインピーダンスを $\dot{Z}_{ab}$[Ω]、端子c,dから右のほうのインピーダンスを $\dot{Z}_{cd}$[Ω]、図2のa’,b’から右のほうのインピーダンスを $\dot{Z}_{α′b′}$[Ω]とした場合、次の式がなりたちます。

$\dot{Z}_{ab}=\displaystyle\frac{\dot{E}_1}{\dot{I}_1′}=\displaystyle\frac{a\dot{E}_2}{\displaystyle\frac{1}{a} \dot{I}_2 }=a^2\displaystyle\frac{\dot{E}_2}{\dot{I}_2 }=a^2\dot{Z}_{cd}$

$\dot{Z}_{α′b′}=\displaystyle\frac{\dot{E}_1}{\dot{I}_1′}$

ここで、$\dot{Z}_{αb}=\dot{Z}_{α′b′}$ であれば、図1(a)の回路と図2の回路は、等価になります。つまり、図2の二次側のインピーダンス $\dot{Z}_{α′b′}$ は一次側に換算すると、次のように表すことができます。

$\dot{Z}_{α′b′}=a^2\dot{Z}_{cd}$ … (4)

一次側に換算した等価回路

図2の回路では、二次側の諸量を一次側に置き換え、一次回路はそのままと考えた回路で、一次側に換算した等価回路、または一次側からみた等価回路といいます。

図2 一次側に換算した等価回路

二次側の諸量を一次側に換算する方法をまとめると、次のようになります。

  1. 一次側の電圧・電流・インピーダンスおよびアドミタンスは、そのままにする。
  2. 二次側の電圧は $a$倍、電流は $\displaystyle\frac{1}{a}$倍する。
  3. 二次側のインピーダンスおよび負荷は $a^2$倍する。

簡易等価回路

図2の回路では、$\dot{Y}_o$ の回路が一次インピーダンスと二次インピーダンスの中間に接続されていますので、回路計算が複雑になります。そこで、図3に示すように $\dot{Y}_o$ の回路を電源側に移すと回路計算が容易になります。

実際の変圧器では、一次インピーダンス降下は一次電圧 $V_1$[V]に比べて小さく、励磁電流 $I_o$[A]も一次電流 $I_1$[A]に比べて小さいので、図2と図3はほとんど等価とみることができます。図3の回路を簡易等価回路といい、図2のかわりによく用いられています。なお、 このような考えから、一次側の諸量をすべて二次側に置き換えた等価回路もつくることができます。

図3 簡易等価回路(一次側に換算した等価回路)

電験三種-機械(変圧器)過去問

1997年(平成9年)問3

変圧器の一次側(巻数$N_1$)を二次側(巻数$N_2$)に換算した場合の簡易等価回路の換算係数に関する次の記述のうち、誤っているのは次のうちどれか。ただし、変圧器の巻数比($\displaystyle\frac{N_1}{N_2}$)は $a$ とする。

(1) 一次側の電圧は $\displaystyle\frac{1}{a}$倍
(2) 一次側の電流は $a$倍
(3) 励磁電流は $a$倍
(4) 一次側のインピーダンスは $(\displaystyle\frac{1}{a})^2$倍
(5) 励磁アドミタンスは $(\displaystyle\frac{1}{a})^2$倍

1997年(平成9年)問3 過去問解説

この画像には alt 属性が指定されておらず、ファイル名は image-356.png です

励磁アドミタンスはインピーダンスの逆数ですので、$a^2$倍になります。したがって、(5)が誤りです。

答え (5)

2014年(平成26年)問7

次の文章は、単相変圧器の簡易等価回路に関する記述である。
変圧器の電気的な特性を考える場合、等価回路を利用すると都合がよい。また、等価回路は負荷も含めた電気回路として考えると便利であり、特に二次側の諸量を一次側に置き換え、一次側の回路はそのままとした「一次側に換算した簡易等価回路」は広く利用されている。
一次巻線の巻数を $N_1$、二次巻線の巻数を $N_2$ とすると、巻数比 a は $a=N_1/N_2$ で表され、この $a$ を使用すると二次側諸量の一次側への換算は以下のように表される。

${\dot{V}_2}’$:二次電圧 ${\dot{V}_2}$ を一次側に換算したもの ${\dot{V}_2}’$=( ア )・${\dot{V}_2}$
${\dot{I}_2}’$:二次電流 ${\dot{I}_2}$ を一次側に換算したもの ${\dot{I}_2}’$=( イ )・${\dot{I}_2}$
${r_2}’$:二次抵抗 ${r_2}$ を一次側に換算したもの ${r_2}’$=( ウ )・${r_2}$
${x_2}’$:二次漏れリアクタンス ${x_2}$ を一次側に換算したもの ${x_2}’$=( エ )・${x_2}$
${\dot{Z}_L}’$:負荷インピーダンスを ${\dot{Z}_L}$ 一次側に換算したもの ${\dot{Z}_L}’$=( オ )・${\dot{Z}_L}$

ただし、’(ダッシュ)の付いた記号は、二次側諸量を一次側に換算したものとし、’(ダッシュ)のない記号は二次側諸量とする。

上記の記述中の空白箇所(ア),(イ),(ウ),(エ)及び(オ)に当てはまる組合せとして、正しいものを次の(1)~(5)のうちから一つ選べ。

(ア)(イ)(ウ)(エ)(オ)
(1)$a$$\displaystyle\frac{1}{a}$$a^2$$a^2$$a^2$
(2)$\displaystyle\frac{1}{a}$$a$$a^2$ $a^2$$a$
(3)$a$$\displaystyle\frac{1}{a}$$\displaystyle\frac{1}{a^2}$$\displaystyle\frac{1}{a^2}$$\displaystyle\frac{1}{a^2}$
(4)$\displaystyle\frac{1}{a}$$a$$\displaystyle\frac{1}{a^2}$$\displaystyle\frac{1}{a^2}$$a^2$
(5)$\displaystyle\frac{1}{a}$$a$$\displaystyle\frac{1}{a^2}$$\displaystyle\frac{1}{a^2}$$\displaystyle\frac{1}{a^2}$

2014年(平成26年)問7 過去問解説

一次側に換算した簡易等価回路を示します。

この画像には alt 属性が指定されておらず、ファイル名は image-356.png です

${\dot{V}_2}’$:二次電圧 ${\dot{V}_2}$ を一次側に換算したもの ${\dot{V}_2}’$=( $a$ )・${\dot{V}_2}$
${\dot{I}_2}’$:二次電流 ${\dot{I}_2}$ を一次側に換算したもの ${\dot{I}_2}’$=( $\displaystyle\frac{1}{a}$ )・${\dot{I}_2}$
${r_2}’$:二次抵抗 ${r_2}$ を一次側に換算したもの ${r_2}’$=( $a^2$ )・${r_2}$
${x_2}’$:二次漏れリアクタンス ${x_2}$ を一次側に換算したもの ${x_2}’$=( $a^2$ )・${x_2}$
${\dot{Z}_L}’$:負荷インピーダンスを ${\dot{Z}_L}$ 一次側に換算したもの ${\dot{Z}_L}’$=( $a^2$ )・${\dot{Z}_L}$

答え (1)

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